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不懂就要問,
想保住面子的人,
最後連裡子也會輸掉。

koeagle 發表於 2023-6-20 13:20

112屏東高中

112屏東高中教師甄選

填充第4題,考試當下題目改成「設 \( a^2 , b^2 \) 為正整數」。

想請教填充5、計算14。

【站長補充:附件已更新為官方公告的更正後答案版本,其中第2、14題的答案有更新。】

5pn3gp6 發表於 2023-6-20 13:47

填充 第二題 後來答案有更正

不過更正的檔案,就沒有附上填充題的題目了

【站長補充:已用官方公告的更正後答案,替換首篇附件的原試題之答案。】

cathy80609 發表於 2023-6-20 14:32

想請問老師們,計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢

weiye 發表於 2023-6-20 16:00

[quote]原帖由 [i]cathy80609[/i] 於 2023-6-20 14:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25229&ptid=3766][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問老師們,計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢 [/quote]

計算第14題
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\),其中\(O\)為原點,\(A(-4,2)\),求\(C\)點坐標。
[提示]
\(C\) 點坐標應為 \(\displaystyle \left(-2+\tan72^\circ,1+2\tan72^\circ\right)=\left(-2+\sqrt{5+2\sqrt{5}}, 1+2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)\)

5pn3gp6 發表於 2023-6-20 16:03

回覆 3# cathy80609 的帖子

的確,x座標應該是 \(-2 + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}\)

不過好像來不及提出疑義了?

thepiano 發表於 2023-6-20 16:23

回覆 1# koeagle 的帖子

填充第 5 題
從\(1,2,3,\ldots,n\)的正整數中任意取出89個不同的數,使得這89個數中一定有兩個數的差等於11,求\(n\)的最大值為[u]   [/u]。
[解答]
把除以 11 的餘數相同的寫成同一列
1、12、23、...、155、166
2、13、24、...、156、167
3、14、25、...、157、168


11、22、33、...、165、176
上面共 16 直行,每行 11 個數
任選 88 個數,可能都選到 8 個奇數行或 8 個偶數行的數
再多選 1 個數,必可保證有兩數的差是 11

peter0210 發表於 2023-6-20 21:38

請問填充9答案是否為-6×3=-18
因為該函數並不是嚴格遞增
它和y=42,y=28各有三個交點

5pn3gp6 發表於 2023-6-20 22:54

新的公告,第14題答案更正了
不過如peter老師所言,第9題也有問題,看明天會不會再更正一次

【站長補充:首篇的附件已更新為官方公告的更正後答案版本,其中第2、14題的答案有更新。故刪除本回覆的附件,以節省空間。】

koeagle 發表於 2023-6-20 23:39

回覆 7# peter0210 的帖子

填充9
設實係數多項式函數\(f(x)=x^3+9x^2+8x+5\),若\(f(s)=42\),\(f(t)=28\),其中\(s\)與\(t\)皆為實數,求\(s+t=\)[u]   [/u]。
[解答]
我是用三次函數圖形對稱反曲點去做

微分易知 \( \displaystyle  f''(-3) = 0 \)

\( \displaystyle f(x) = (x+3)^3 - 19(x+3) + 35 \)

\( \displaystyle (x+s)^3 - 19(x+s) = 42 - 35 = 7  \; , \;  (x+t)^3 - 19(x+t) = 28 - 35 = -7 \)

\( \displaystyle s+t = 2 \times (-3) = -6 \)

cut6997 發表於 2023-6-20 23:58

回覆 9# koeagle 的帖子

這當然沒有問題,但問題出在現在有3組s,t加起來會是-6
但如果挑不同組的話,那事情就大條了
雖然考場內能做出來的應該也就只有取同組的答案?

另外想請教第四題
條件變動後,如何證明a不為正整數時無解
有辦法證明3^(sqrt(a))一定不是正整數嗎?

最後,14題我是先算出對角線長後乘比例再用矩陣旋轉72度,然後就爆炸了。
雖然化簡後會一樣,但還是想請教如何得到瑋岳老師精簡的式子。

peter0210 發表於 2023-6-21 09:48

14.
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\),其中\(O\)為原點,\(A(-4,2)\),求\(C\)點坐標。

weiye 發表於 2023-6-21 10:17

回覆 10# cut6997 的帖子

第 14 題,
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\),其中\(O\)為原點,\(A(-4,2)\),求\(C\)點坐標。
[解答]
設 \(\overline{OA}\) 的中點為 \(M(-2,1)\),

因為 \(\vec{MC}\perp\vec{OM}\),得「與 \(\vec{MC}\) 同方向且與 \(\vec{OM}=(-2,1)\) 等長的向量」為 \((1,2)\)

又 \(\triangle OMC\) 為 \(72^\circ-18^\circ-90^\circ\) 的直角三角形,得 \(\overline{MC} = \tan72^\circ \cdot \overline{OM}\)

\(\Rightarrow \vec{MC} = \tan72^\circ\cdot(1,2)\)

再來就是利用 \(\displaystyle \sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)(或也可以利用 \(\displaystyle \cos36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\) 及二倍角公式),

得 \(\displaystyle \tan72^\circ = \cot18^\circ = \sqrt{5+2\sqrt{2}}\) 。

cut6997 發表於 2023-6-21 11:10

感謝peter老師的附圖和瑋岳老師的解說

koeagle 發表於 2023-6-21 17:03

回覆 6# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師、peter0210 老師、瑋岳老師。

bugmens 發表於 2023-7-1 10:21

1.
設\(a\)為正整數且\(1<a<10^5\),若\(a\)的各位數字和為12,求這樣的\(a\)共有多少個?[u]   [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4642[/url]

2.
設\(A(0,1,2)\),\(B(-1,2,1)\),\(C(1,0,1)\)為空間中的三點,則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為[u]   [/u]。

設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\),則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
(100台中二中,連結有提示,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684[/url])

13.
設\(a\)為實數,以\(\displaystyle \left[a+\frac{19}{100}\right]+\left[a+\frac{20}{100}\right]+\ldots+\left[a+\frac{85}{100}\right]=500\),求\(\left[100a\right]\)之值為多少?
(符號\(\left[x\right]\)為不超過\(x\)的最大整數)

Suppose \(r\) is a real number for which
\(\displaystyle \Bigg\lfloor\;r+\frac{19}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{20}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{21}{100}\Bigg\rfloor\;+\ldots+\Bigg\lfloor\;r+\frac{91}{100}\Bigg\rfloor\;=546\).
Find \(\lfloor\; 100r\rfloor\;\).(For real \(x\),\(\lfloor\; x\rfloor\;\)is the greatest integer less than or equal to \(x\).)
(1991AIME,連結有解答[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1991_AIME_Problems/Problem_6[/url])

若\(x\in R\),定義\(\left[x\right]\)為高斯符號函數,已知方程式\(\left[x+0.19\right]+\left[x+0.20\right]+\left[x+0.21\right]+\ldots+\left[x+0.33\right]=115\),試問\(\left[100x\right]=\)?
(A)776 (B)677 (C)777 (D)876
(97台南縣國中聯招)

shihqua 發表於 2023-8-23 17:20

想詢問填充第四題答案是否與題目敘述衝突
找不到這樣的正整數ab

thepiano 發表於 2023-8-24 11:37

回覆 16# shihqua 的帖子

題目有改過,參考一樓的說明

shihqua 發表於 2023-8-24 17:10

回覆 17# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,沒注意到說明!

頁: [1]

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