112屏東高中
112屏東高中教師甄選填充第4題，考試當下題目改成「設 \( a^2 , b^2 \) 為正整數」。
想請教填充5、計算14。
【站長補充：附件已更新為官方公告的更正後答案版本，其中第2、14題的答案有更新。】 填充 第二題 後來答案有更正
不過更正的檔案，就沒有附上填充題的題目了
【站長補充：已用官方公告的更正後答案，替換首篇附件的原試題之答案。】 想請問老師們，計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢 [quote]原帖由 [i]cathy80609[/i] 於 2023-6-20 14:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25229&ptid=3766][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問老師們，計算題第14題答案是否有誤呢
按照題目給的x坐標算起來是負的
但C點是不是應該在第一象限呢 [/quote]
計算第14題
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。
[提示]
\(C\) 點坐標應為 \(\displaystyle \left(-2+\tan72^\circ,1+2\tan72^\circ\right)=\left(-2+\sqrt{5+2\sqrt{5}}, 1+2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)\)
回覆 3# cathy80609 的帖子
的確，x座標應該是 \(-2 + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}\)不過好像來不及提出疑義了?
回覆 1# koeagle 的帖子
填充第 5 題從\(1,2,3,\ldots,n\)的正整數中任意取出89個不同的數，使得這89個數中一定有兩個數的差等於11，求\(n\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
把除以 11 的餘數相同的寫成同一列
1、12、23、...、155、166
2、13、24、...、156、167
3、14、25、...、157、168
：
：
11、22、33、...、165、176
上面共 16 直行，每行 11 個數
任選 88 個數，可能都選到 8 個奇數行或 8 個偶數行的數
再多選 1 個數，必可保證有兩數的差是 11 請問填充9答案是否為-6×3=-18
因為該函數並不是嚴格遞增
它和y=42,y=28各有三個交點 新的公告，第14題答案更正了
不過如peter老師所言，第9題也有問題，看明天會不會再更正一次
【站長補充：首篇的附件已更新為官方公告的更正後答案版本，其中第2、14題的答案有更新。故刪除本回覆的附件，以節省空間。】
回覆 7# peter0210 的帖子
填充9設實係數多項式函數\(f(x)=x^3+9x^2+8x+5\)，若\(f(s)=42\)，\(f(t)=28\)，其中\(s\)與\(t\)皆為實數，求\(s+t=\)[u] [/u]。
[解答]
我是用三次函數圖形對稱反曲點去做
微分易知 \( \displaystyle f''(-3) = 0 \)
\( \displaystyle f(x) = (x+3)^3 - 19(x+3) + 35 \)
\( \displaystyle (x+s)^3 - 19(x+s) = 42 - 35 = 7 \; , \; (x+t)^3 - 19(x+t) = 28 - 35 = -7 \)
\( \displaystyle s+t = 2 \times (-3) = -6 \)
回覆 9# koeagle 的帖子
這當然沒有問題，但問題出在現在有3組s,t加起來會是-6但如果挑不同組的話，那事情就大條了
雖然考場內能做出來的應該也就只有取同組的答案?
另外想請教第四題
條件變動後，如何證明a不為正整數時無解
有辦法證明3^(sqrt(a))一定不是正整數嗎?
最後，14題我是先算出對角線長後乘比例再用矩陣旋轉72度，然後就爆炸了。
雖然化簡後會一樣，但還是想請教如何得到瑋岳老師精簡的式子。 14.
正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。
回覆 10# cut6997 的帖子
第 14 題，正五邊形頂點依順時針方向依序為\(OABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(-4,2)\)，求\(C\)點坐標。
[解答]
設 \(\overline{OA}\) 的中點為 \(M(-2,1)\)，
因為 \(\vec{MC}\perp\vec{OM}\)，得「與 \(\vec{MC}\) 同方向且與 \(\vec{OM}=(-2,1)\) 等長的向量」為 \((1,2)\)
又 \(\triangle OMC\) 為 \(72^\circ-18^\circ-90^\circ\) 的直角三角形，得 \(\overline{MC} = \tan72^\circ \cdot \overline{OM}\)
\(\Rightarrow \vec{MC} = \tan72^\circ\cdot(1,2)\)
再來就是利用 \(\displaystyle \sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)（或也可以利用 \(\displaystyle \cos36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\) 及二倍角公式），
得 \(\displaystyle \tan72^\circ = \cot18^\circ = \sqrt{5+2\sqrt{2}}\) 。 感謝peter老師的附圖和瑋岳老師的解說
回覆 6# thepiano 的帖子
謝謝 thepiano 老師、peter0210 老師、瑋岳老師。 1.設\(a\)為正整數且\(1<a<10^5\)，若\(a\)的各位數字和為12，求這樣的\(a\)共有多少個？[u] [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4642[/url]
2.
設\(A(0,1,2)\)，\(B(-1,2,1)\)，\(C(1,0,1)\)為空間中的三點，則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為[u] [/u]。
設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
(100台中二中，連結有提示，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684[/url])
13.
設\(a\)為實數，以\(\displaystyle \left[a+\frac{19}{100}\right]+\left[a+\frac{20}{100}\right]+\ldots+\left[a+\frac{85}{100}\right]=500\)，求\(\left[100a\right]\)之值為多少？
(符號\(\left[x\right]\)為不超過\(x\)的最大整數)
Suppose \(r\) is a real number for which
\(\displaystyle \Bigg\lfloor\;r+\frac{19}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{20}{100}\Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\;r+\frac{21}{100}\Bigg\rfloor\;+\ldots+\Bigg\lfloor\;r+\frac{91}{100}\Bigg\rfloor\;=546\).
Find \(\lfloor\; 100r\rfloor\;\).(For real \(x\),\(\lfloor\; x\rfloor\;\)is the greatest integer less than or equal to \(x\).)
(1991AIME，連結有解答[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1991_AIME_Problems/Problem_6[/url])
若\(x\in R\)，定義\(\left[x\right]\)為高斯符號函數，已知方程式\(\left[x+0.19\right]+\left[x+0.20\right]+\left[x+0.21\right]+\ldots+\left[x+0.33\right]=115\)，試問\(\left[100x\right]=\)？
(A)776 (B)677 (C)777 (D)876
(97台南縣國中聯招) 想詢問填充第四題答案是否與題目敘述衝突
找不到這樣的正整數ab
回覆 16# shihqua 的帖子
題目有改過，參考一樓的說明回覆 17# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師，沒注意到說明！頁:
[1]