112新竹高中代理
112新竹高中代理教師甄選試題，學校好像沒有公佈答案。填充7.
如圖所示，設\(ABCD\)為等腰梯形，其中\(\overline{BC}//\overline{AD}\)且\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，點\(X\)與點\(Y\)在對角線\(\overline{AC}\)上，其中點\(X\)位於點\(A\)與點\(Y\)之間。若\(\angle AXD=\angle BYC=90^{\circ}\)，\(\overline{AX}=3\)，\(\overline{XY}=1\)，\(\overline{YC}=2\)，則\(ABCD\)的面積為多少？[u] [/u][解答]
BD=AC=6,BY+XD=√(BD^2-XY^2)=√35
所求=1/2×AC×√35=3√35
113.3.17補充
Let \(ABCD\) be an isosceles trapezoid with \(\overline{BC} \parallel \overline{AD}\) and \(AB=CD\). Points \(X\) and \(Y\) lie on diagonal \(\overline{AC}\) with \(X\) between \(A\) and \(Y\), as shown in the figure. Suppose \(\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ\), \(AX = 3\), \(XY = 1\), and \(YC = 2\). What is the area of \(ABCD\)?
[img]https://latex.artofproblemsolving.com/7/0/0/700ad3cece006b6c7cb1893ddb628d8ca975f650.png[/img]
(2021Fall AMC12A，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_Fall_AMC_12A_Problems#Problem_21[/url])
(2021秋季AMC12A，[url]https://math.pro/db/thread-3591-1-2.html[/url])
解答參考
久沒算題目，若有計算錯誤還請不吝指教更正1.49
2.2208
3.\(\displaystyle \frac{363}{1843}\)
4. \(\displaystyle \frac{99\sqrt{3}}{20}\)
5. \(\displaystyle \frac{1}{32}\)
6. 16
7. \(\displaystyle 3\sqrt{35}\)
8. \(\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\)
9. \(\displaystyle (\frac{1}{5},\frac{2}{3})\)
10. \(\displaystyle (\frac{3}{5},\frac{11}{5})\)
12. \(\displaystyle a_n=2^{n+1}-n-2\)
13. (1) \(\displaystyle \frac{9}{32}\) (2)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)
另想請教第14題
回覆 3# satsuki931000 的帖子
第 14 題空間中，直線\(L\)與直線\(M\)為歪斜線，直線\(L\)垂直平面\(N\)於\(A\)。在直線\(L\)上另有\(B\)，\(C\)兩點使得\(\overline{AB}=\overline{BC}\)。直線\(M\)交平面\(N\)於\(D\)，在直線\(M\)上另有\(E\)，\(F\)兩點使得\(\overline{BE}\perp \overline{AC}\)、\(\overline{CF}\perp \overline{AC}\)且\(E\)，\(F\)兩點在平面\(N\)的投影點分別為\(I\)、\(J\)(示意圖如下)，已知\(\overline{AD}=8\)、\(\overline{BE}=5\)、\(\overline{CF}=6\)，試求
(1)線段\(\overline{IJ}\)的長度。
(2)直線\(L\)與直線\(M\)的距離。
[解答]
(1) AJ = CF = 6，AI = BE = 5
FJ = AC = 2AB = 2EI
I 是 DJ 中點
再利用中線定理
(2) 兩歪斜線的距離 = A 到 DJ 的距離 5.
若多項式方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的三個根為\(\displaystyle cos \frac{2\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{4\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{6\pi}{7}\)，其中角度是弳度，則乘積\(abc\)之值為多少？[u] [/u]
設\( \matrix{\displaystyle \omega=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin\frac{2 \pi}{7}, \cr \alpha=\omega+\omega^6=2 cos\frac{2 \pi}{7},\cr \beta=\omega^2+\omega^5=2 cos \frac{4 \pi}{7},\cr \gamma=\omega^3+\omega^4=2cos \frac{6 \pi}{7}} \)求以實數\( \alpha,\beta,\gamma \)為三根的三次方程式為[u] [/u]。
(88高中數學能力競賽 第一區(花蓮高中)筆試二試題)
10.
設\(a,b\)為實數。根據迴歸直線的理論可知，平方和
\([5-(a\cdot 4+b)]^2+[5-(a\cdot 6+b)]^2+[7-(a\cdot 8+b)]^2+[9-(a\cdot 10+b)]^2+[9-(a\cdot 12+b)]^2\)在數對\((a,b)=\)[u] [/u]時得到最小值。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url]
設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \)，當\( f(a,b) \)有最小值時，求此時數對\( (a,b)= \)？
(102文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=1#pid7916[/url])
二、計算證明題
12.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式為\(\cases{a_1=1 \cr a_n=2a_{n-1}+n}\)，試求一般項\(a_n\)。
我的教甄準備之路 求數列一般項，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507[/url]
13.
設甲乙兩箱中，甲箱內有1白球1紅球，乙箱內有1白球2紅球。現在每次先從甲箱中隨機取一球，放入乙箱內，再從乙箱隨機取一球放入甲箱，這樣稱為一局。試求
(1)在第二局結束後，有2紅球在甲箱內的機率。
(2)在經過長時期的交換後，有2紅球在甲箱內的機率。
回覆 4# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師的解答 [quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2023-7-2 13:26 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25266&ptid=3765][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]久沒算題目，若有計算錯誤還請不吝指教更正
1.49
2.2208
3.\(\displaystyle \frac{363}{1843}\)
4. \(\displaystyle \frac{99\sqrt{3}}{20}\)
5. \(\displaystyle \frac{1}{32}\)
6. 16
7. \(\displaystyle 3\s ... [/quote]
幾個不一樣的答案 不曉得是不是我想法有錯
3. \(\displaystyle \frac{363}{511}\)
6. 208
9. ( \(\displaystyle \frac{1}{3}\), \(\displaystyle \frac{4}{9}\) )
13 (2) \(\displaystyle \frac{3}{10}\)
另外想問第4題
回覆 7# g112 的帖子
第 3、6、9、13_(2)小弟的答案與您相同
第 4 題
2021 AMC12A 第 24 題 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2023-7-24 23:19 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25323&ptid=3765][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 3、6、9、13_(2)
小弟的答案與您相同
第 4 題
2021 AMC12A 第 24 題 [/quote]
收到 謝謝鋼琴老師
回覆 7# g112 的帖子
謝謝g112老師的指點太久沒上來看，沒有及時回您實屬抱歉
今天有朋友問小弟第8題的算法，才發現一開始看錯題目，答案似乎不是這麼簡單的單位方陣
試算了一下答案為
\(\begin{bmatrix} cos^2 \theta&cos\theta\ sin\theta\\ cos\theta\ sin\theta&sin^2 \theta \end{bmatrix}\)
還請各位先進協助指點是否有哪邊有誤
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