112新竹市國中聯招
48.設\(n\)為正整數，如果二次函數\(y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1\)的圖形與\(x\)軸交於二點\(A_n\)、\(B_n\)，如果線段\(\overline{A_nB_n}\)之長為\(a_n\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(101台中女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=1#pid5182[/url])
51.
設\(n\)為正整數，則\(C_1^n+3C_2^n+3^2C_3^n+3^3C_4^n+\ldots+3^{n-1}C_n^n=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{4^n-1}{3}\) (B)\(\displaystyle \frac{4^n}{3}\) (C)\(4^n-1\) (D)\(4^n\)
(110香山高中，[url]https://math.pro/db/thread-3532-1-1.html[/url])
53.
試問無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 2+2\times 3}+\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4}+\ldots+\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4+\ldots+n(n+1)}+\ldots\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url]
56.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right]=\)？
(A)\(\sqrt{2}-1\) (B)\(\sqrt{3}-1\) (D)\(2(\sqrt{2}-1)\) (D)\(2(\sqrt{3}-1)\)
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
62.
函數\(f(x,y)=3x+4y\)，在\(x^2+y^2=1\)上的極大值為何？
(A)4 (B)\(\displaystyle \frac{9}{4}\) (C)5 (D)\(\displaystyle \frac{11}{5}\)
68.
無窮級數\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) (B)\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) (D)\(\pi\)
80.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為實數，如果\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)，則\(\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\)？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 Q55
答案是否有誤？小弟算的答案是B
回覆 3# peter0210 的帖子
這份不只這題有誤，還有好幾題 Q80已知\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為實數，如果\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)，則\(\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\)？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
[解答]
新竹市國中教甄 連續函數問題
[img]https://i.imgur.com/olZUctY.jpg[/img]想詢問甲、乙錯的原因？
回覆 1# Hawlee 的帖子
74.若\(A\)為\(R\)的部份集合，且\(f(x)\)：\(A \to R\)為一連續函數。
甲：若\(f(a)<m<f(b)\)，則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=m\)。
乙：若\(f(a)=f(b)\)，則\(\exists c\in A\)且\(f(c)=f(a)=f(b)\)。
有關甲、乙的推論，下列選項何者正確？
（A）甲和乙皆正確
（B）僅甲正確
（C）僅乙正確
（D）甲和乙皆不正確
[解答]
檢查一下題目或答案有沒有錯
甲的反例發生在 \( A \) 不連通時
例如 \( A = \mathbb{R \backslash \{0\}} \), \( f(x) = \frac{1}{x} \)
\( f(-1) = -1 < 0 < 1 = f(1) \)，但不存在 \( c \in A\) 使得 \( f(c) = 0 \)
通常是卡在連續函數的定義(可以回去翻高微)
乙的部分，直接取 \( c=a \)，就會有 \( f(c) = f(a) = f(b) \) 了
因此必然是正確的。
(題目抄錯？出錯？答案給錯？)
但此推論，顯然沒什麼用，此命題應該增加條件在「則的部分」：則 \( \exists c \in A \) 且 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 且 ...
增加了 \( c \neq a \) 且 \( c \neq b \) 的限制後，才會是錯的推論，反例像是 \( f(x) =x^2 \) 很容易找，
這麼一來，好像又太簡單了...
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2024-3-12 14:30 編輯 [/i]]
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