112大直高中
趁記憶猶新，跟朋友回想試題，這次的敘述可能沒有很完整，再請老師們看看有沒有需要修正的地方～
備註：
1. 紅筆字為不太確定的數據。
2. 手寫檔案太大，怎麼壓縮都無法降到 2mb 以下，故拆成兩個檔案。
3. 希望學校能公布考題，如果沒公布，之後再打字。
4. 考生有 46 人。
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112.06.13 補充
早上致電大直高中教學組長
詢問何時會公告試題與答案
原本回覆「只會公告填充題答案」
「但如果沒有公告試題，考生如何提疑義」
這句話一問，組長覺得很有道理，說會幫忙問問看
於是學校公告了試題
所以未來如果學校沒有公告試題與答案，考生真的要打電話去問問
謝謝大直高中教學組長～
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2023-6-13 15:26 編輯 [/i]] 2.
已知兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}^{\infty} \)、\(\langle\;b_n\rangle\;_{n=1}^{\infty} \)定義如下：\(\cases{a_1=20\cr b_1=23}\)且\(\cases{a_{n+1}=2a_n+b_n\cr b_{n+1}=2a_n+3b_n}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)[u] [/u]。
6.
若四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{BC}=15\)、\(\overline{CD}=17\)、\(\overline{DA}=10\)，則四邊形\(ABCD\)的內切圓面積的最大值為[u] [/u]。
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為[u] [/u]。
(101文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=4#pid5310[/url])
9.
已知\(H\)為\(\Delta ABC\)的垂心。若\(\vec{HA}+2\vec{HB}+3\vec{HC}=\vec{0}\)，則\(cosA=\)[u] [/u]。 新公告喔
112.6.13版主補充
將檔案移到第一篇 Q10 Q1
[[i] 本帖最後由 peter0210 於 2023-6-14 15:05 編輯 [/i]]
一1.
3c+d=1>=2✓（3cd)cd最大=1/12,
既然cd與a,b毫無瓜葛，而本題要找K=1/a+1/（bcd）的min，當然就要讓在分母的cd最大即可，此時K=1/a+12/b
由科西知道（1/a+12/b)(a+3b)>=(1+6)^2=49
又a+3b=1,故本題K的min=49
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-6-15 04:32 編輯 [/i]] Q9
填9
公式來源: [url]https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d431/43107.pdf[/url][attach]6746[/attach] 想請問一下
一：3, 4, 6, 7
二：1, 3
回覆 9# a5385928 的帖子
一、第3題：不等式 \(|x|+| y |+| x-y |\leq10\) 的解集合，在坐標平面上對應的區域面積為_______。解：
設索求區域為\(\Gamma\)，若 \(P(x,y)\in \Gamma\)，則 \((y,x)\in\Gamma\) 且 \((-y,-x)\in\Gamma\)，
因此 \(\Gamma\) 的圖形對稱於 \(y=x\) 直線，也對稱於 \(y=-x\) 直線，
不失一般性，
先假設 \(x\geq y\) 且 \(x\geq -y\) ，得 \(x +| y | + x-y \leq 10\)
若 \(y\geq 0\)，得 \(x\leq5\)。 若 \(y\leq0\)，得 \(x-y\leq 5\)。
先畫書上述區域圖形，如附件圖形，
得此區域面積為 \(\displaystyle \frac{1}{2}\times5\times5+\frac{1}{2}\times5\times\frac{5}{2}=\frac{75}{4}\)
由對稱性，得 \(\displaystyle \Gamma\) 面積為 \(\displaystyle 4\times\frac{75}{4}=75\) 。
回覆 9# a5385928 的帖子
一、第7題如圖（請見附件），設 \(\Gamma\) 為包含 \(L\) 且平行 \(S\) 的平面，
\(h\) 為兩歪斜線的距離， \(G,H,I\) 分別為 \(D,E,F\) 在 \(\Gamma\) 上的投影點，
得 \(\overline{AG}=\sqrt{10^2-h^2},\overline{BH}=\sqrt{13^2-h^2},\overline{CI}=\sqrt{24^2-h^2}\)
由三垂線定理，得 \(AG, BH, CI\) 皆垂直 \(L\)，
因為四邊形\(AGIC\) 為梯形且\(AB=BC\)，得 \(\overline{BH}=\frac{1}{2}\left(\overline{AG}+\overline{CI}\right)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{13^2-h^2}=\sqrt{10^2-h^2}+\sqrt{24^2-h^2}\)
然後...... 我解出來的 \(h\) 是...無解，不曉得我哪裡疏忽犯錯了？囧
回覆 9# a5385928 的帖子
計算證明第 1 題令 logx = t
f(x) 改寫成 f(t) = 2[t/2]^2 - [1 - t]^2
令 [t/2] = n，其中 n 為整數
n ≦ t/2 < n + 1
2n ≦ t < 2n + 2
-2n - 1 < 1 - t ≦ -2n + 1
(1) n = 0
-1 < 1 - t ≦ 1
[1 - t]^2 = 0 or 1
f(t) = 0 or -1
(2) n > 0
(-2n + 1)^2 ≦ [1 - t]^2 < (-2n - 1)^2
2n^2 - (-2n - 1)^2 < 2[t/2]^2 - [1 - t]^2 ≦ 2n^2 - (-2n + 1)^2
-2n^2 - 4n - 1 < 2[t/2]^2 - [1 - t]^2 ≦ -2n^2 + 4n - 1 = -2(n - 1)^2 + 1
n = 1 時，-3 < 1 - t ≦ -1
當 [1 - t] = -1，[1 - t]^2 = 1 時，f(t) 有最大值 1
n = 1
2 ≦ t < 4
[1 - t] = -1
-1 ≦ 1 - t < 0
1 < t ≦ 2
t = 2，x = 100
(3) n < 0
(-2n - 1)^2 < [1 - t]^2 ≦ (-2n + 1)^2
2n^2 - (-2n + 1)^2 ≦ 2[t/2]^2 - [1 - t]^2 < 2n^2 - (-2n - 1)^2
-2n^2 + 4n - 1 ≦ 2[t/2]^2 - [1 - t]^2 < -2n^2 - 4n - 1 = -2(n + 1)^2 + 1
n = -1 時，1 < 1 - t ≦ 3
當 [1 - t] = 1，[1 - t]^2 = 1 時，f(t) 有最大值 1
n = -1
-2 ≦ t < 0
[1 - t] = 1
1 ≦ 1 - t < 2
-1 < t ≦ 0
-1 < t < 0，1/10 < x < 1
故 f(x) 的最大值為 1，此時 1/10 < x < 1 or x = 100
回覆 9# a5385928 的帖子
計算證明第 3 題B、A、P、C 四點共圓，sin∠BAQ = sin∠BCR
BA/BQ + BC/BR = sin∠Q/sin∠BAQ + sin∠R/sin∠BCR
= (sin∠Q + sin∠R)/sin∠BAQ
= [sin(∠B + ∠BAQ) + sin(∠B + ∠BCR)]/sin∠BAQ
= {2sin[(2∠B + 180度)/2]cos[(∠BAQ - ∠BCR)/2]}/sin∠BAQ
= [2sin(∠B + 90度)cos(∠BAQ - 90度)]/sin∠BAQ
= 2cos∠B
剩下的就簡單了 ......
回覆 11# weiye 的帖子
在下圖這種情形中有 \(2BH=CI-AG\) , 可解得 \(h=\frac{120}{13}\)[img]https://i.imgur.com/WzVPtWo.png[/img]
另外分享我的作法:
[img]https://i.imgur.com/o47ZRo9.png[/img]
[[i] 本帖最後由 Dragonup 於 2023-6-21 18:58 編輯 [/i]]
回覆 14# Dragonup 的帖子
原來是我沒有考慮到的情況。感謝。 :-D頁:
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