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weiye 發表於 2023-5-9 14:27

112鳳山高中

112鳳山高中數學科教甄試題及答案

bugmens 發表於 2023-5-9 15:44

4.
已知實數\(x,y\)滿足\(x+y=4\sqrt{x+2}+6\sqrt{y+1}\),當\(x=\alpha\)、\(y=\beta\)時有最大值,求實數\(\alpha\)的值為[u]   [/u]。

7.
設\([x]\)為不大於\(x\)的最大整數,試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1000}\right]\)的末位數字。

若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數,試求\(n\)之值?
(100高師大附中代理,連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841[/url])

cut6997 發表於 2023-5-9 19:18

想詢問第7題

我的做法為
補成[(3^0.5+2^0.5)^1000+(3^0.5-2^0.5)^1000]
展開為2(C(1000,0)3^500+...+C(1000,1000)2^500)
考慮
3的次方尾數為3,9,7,1
2的次方尾數為2,4,8,6
故4個一循環,500/4=125...0
取2(1+6)=14
4-1=3

請問是中間哪些項的個位數不是0嗎?
[attach]6669[/attach]

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-9 19:40 編輯 [/i]]

laylay 發表於 2023-5-9 20:18

回覆 3# cut6997 的帖子

k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] 易知答案是1
但是在C(1000,500)中,500=5^3×4, 501=500+1,...,625=500+125,625是5^4倍數,125只是5^3的倍數而就會造成C(1000,500)是5的倍數但非25的倍數。
令A=C(1000,r)=(1000/r)((1000-1)/1)((1000-2)/2).......((1000-(r-1))/(r-1))
當1000-r+1》625 ,即r《=375 時 A是5^?的倍數,就只需去看1000/r的表現即可。
但375《r《=500時,因分子有出現625,
625/375=5/3,就會在此多出一個5,請要注意,其他的5都會約分掉的,例如(1000-25)/25=39/1,(1000-75)/75=37/3,(1000-80)/80=23/2,由上述知道當r為偶數時就只有C(1000,250)=C(1000,750)這兩個是非5倍數,其餘都會是5的倍數。

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 07:48 編輯 [/i]]

cut6997 發表於 2023-5-9 20:27

[quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2023-5-9 20:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25044&ptid=3743][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] ... [/quote]
感謝老師解惑

Ellipse 發表於 2023-5-9 23:44

一.填五
將右式寫成x-2多項式
令t=x-2,再因式分解

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-10 15:13 編輯 [/i]]

laylay 發表於 2023-5-10 14:53

二.4

不妨設z最小=》z=1/(xy)<=1 => xy>=1
當y>=1時
左式-右式=x/y+xy^2+1/(x^2y)-x-y-1/(xy)
=((y^3-y+1)x^3-(y^2)x^2-x+1)/(x^2y)
其分母>0,其分子- 恆正或零的(x^2-1)(x-1)=x^2(y^2-1)(xy-1)>=0, 故分子>=0    =》  左式>=右式(等號成立於x=1,y=1,z=1時),
至於y<1的話再請大家思考了!

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 15:03 編輯 [/i]]

cut6997 發表於 2023-5-10 17:06

2-4強者我同事的做法
[attach]6670[/attach]
如果不進行代換,直接用原式
(x/y)*(x/y)*(y/z)=x^2/yz=x^3/xyz=x^3
也可以得到一樣的結果,可是因為xyz=1被藏了起來,會不容易看出來

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-10 17:27 編輯 [/i]]

chu 發表於 2023-5-11 00:08

填7

[attach]6671[/attach]

chu 發表於 2023-5-11 00:09

填9

[attach]6672[/attach]

chu 發表於 2023-5-11 00:11

填10

[attach]6673[/attach]

chu 發表於 2023-5-11 00:13

填12

用力算
[attach]6674[/attach]

thepiano 發表於 2023-5-11 07:46

回覆 12# chu 的帖子

填充第 12 題
圖中有 小、中、大 三種 “田” 字

從 A 經過 C 走到 D,有 3 * 3 種走法
從 A 不經過 C 走到 D,有 2 * 2 種走法
從 小“田” 字 的左下角 A 走到右上角 D 是 3 * 3 + 2 * 2 = 13 種走法

從 中“田” 字 的左下角走到右上角是 13 * 13 + 2 * 2 = 173 種走法

所求是從 大“田” 字 的左下角走到右上角是 173 * 173 + 2 * 2 = 29933 種走法

laylay 發表於 2023-5-11 11:15

填充9. 另解

當C在x軸上方時
令 t = AC斜率=y/(x+1)=tan(角A)
BC斜率=y/(x-2)=tan(180度-2角A)=-2t/(1-t^2)=-2y/(x+1)/(1-y^2/(x+1)^2)=-2y(x+1)/((x+1)^2-y^2)
1/(x-2)=-2(x+1)/((x+1)^2-y^2) => x^2-y^2/3=1 , x>1 (角B>角A=> CA>CB,C在AB中垂線x=1/2之右,故C只在雙曲線的右支,右頂點(1,0))
當C在x軸下方時,C之軌跡圖形與上述圖形對稱x軸,故答案依舊如上
當角A趨近於零度時 , CA:CB=sin(2角A):sin(角A)=2sin(角A)cos(角A):sin(角A)=2cos(角A):1 趨近於 2:1,此時 C趨近於右頂點(1,0)

[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-11 12:25 編輯 [/i]]

koeagle 發表於 2023-5-11 20:04

想請教填充8、填充14,謝謝。

tsusy 發表於 2023-5-11 20:38

填充 8. 在已知抽出3張牌皆為紅心的條件下,
其餘 49 牌為遺失的機率均等,均為 \( \frac{2}{49} \)
故所求 \( \frac{2}{49} \times 10 = \frac{20}{49} \)

tsusy 發表於 2023-5-11 21:00

回覆 15# koeagle 的帖子

填充 14.
令直線 \( L \) 為 \( \frac{x-2}{2021}=\frac{y-3}{2022}=\frac{z+4}{2023} \) 為一平行於 \( L_k \) 之直線

故 \( L \) 上的 \( P \) 到 \( L_k \) 的距離 \( d_k \)、 \( L_k \) 上一點 \( (k,k,k) \) 到 \( L \) 的距離均為兩平行線間的距離。

而 \( (k,k,k) \) 為直線 \( M: x=y=z \) 上的動點,故所求 \( d_k \) 的最小值即為 \( M \) 和 \( L \) 兩歪線線距離。

外歪線距離(外積、構造平行平面、點面距) 計算可得 \( \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{4}{3} \sqrt{6} \)

CYC 發表於 2023-5-11 22:53

想問問版上老師
填充13這樣子做會錯在哪裡

koeagle 發表於 2023-5-11 23:00

回覆 17# tsusy 的帖子

謝謝 tsusy 老師。

cut6997 發表於 2023-5-11 23:17

回覆 18# CYC 的帖子

做垂直a且通過a的直線,與垂直b且通過b的直線,求交點與c內積
第2步兩邊要分開取
0.5x<ybc<1+0.5x
=>0<ybc<1.5

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-11 23:39 編輯 [/i]]

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