112鳳山高中
112鳳山高中數學科教甄試題及答案 4.已知實數\(x,y\)滿足\(x+y=4\sqrt{x+2}+6\sqrt{y+1}\)，當\(x=\alpha\)、\(y=\beta\)時有最大值，求實數\(\alpha\)的值為[u] [/u]。
7.
設\([x]\)為不大於\(x\)的最大整數，試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1000}\right]\)的末位數字。
若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
(100高師大附中代理，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841[/url]) 想詢問第7題
我的做法為
補成[(3^0.5+2^0.5)^1000+(3^0.5-2^0.5)^1000]
展開為2(C(1000,0)3^500+...+C(1000,1000)2^500)
考慮
3的次方尾數為3,9,7,1
2的次方尾數為2,4,8,6
故4個一循環,500/4=125...0
取2(1+6)=14
4-1=3
請問是中間哪些項的個位數不是0嗎?
[attach]6669[/attach]
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-9 19:40 編輯 [/i]]
回覆 3# cut6997 的帖子
k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] 易知答案是1
但是在C(1000,500)中，500=5^3×4, 501=500+1,...,625=500+125，625是5^4倍數，125只是5^3的倍數而就會造成C(1000,500)是5的倍數但非25的倍數。
令A=C(1000,r)=（1000/r)((1000-1)/1)((1000-2)/2).......((1000-(r-1))/(r-1))
當1000-r+1》625 ，即r《=375 時 A是5^？的倍數,就只需去看1000/r的表現即可。
但375《r《=500時，因分子有出現625,
625/375=5/3,就會在此多出一個5,請要注意，其他的5都會約分掉的，例如（1000-25）/25=39/1,（1000-75）/75=37/3,（1000-80）/80=23/2，由上述知道當r為偶數時就只有C(1000,250)=C(1000,750)這兩個是非5倍數，其餘都會是5的倍數。
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 07:48 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2023-5-9 20:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25044&ptid=3743][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] ... [/quote]
感謝老師解惑 一.填五
將右式寫成x-2多項式
令t=x-2,再因式分解
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-10 15:13 編輯 [/i]]
二.4
不妨設z最小=》z=1/(xy)<=1 => xy>=1當y>=1時
左式-右式=x/y+xy^2+1/(x^2y)-x-y-1/(xy)
=((y^3-y+1)x^3-(y^2)x^2-x+1)/(x^2y)
其分母>0,其分子- 恆正或零的（x^2-1)(x-1）=x^2(y^2-1)(xy-1)>=0, 故分子>=0 =》 左式>=右式(等號成立於x=1,y=1,z=1時)，
至於y<1的話再請大家思考了！
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 15:03 編輯 [/i]] 2-4強者我同事的做法
[attach]6670[/attach]
如果不進行代換，直接用原式
(x/y)*(x/y)*(y/z)=x^2/yz=x^3/xyz=x^3
也可以得到一樣的結果，可是因為xyz=1被藏了起來，會不容易看出來
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-10 17:27 編輯 [/i]]
填7
[attach]6671[/attach]填9
[attach]6672[/attach]填10
[attach]6673[/attach]填12
用力算[attach]6674[/attach]
回覆 12# chu 的帖子
填充第 12 題圖中有 小、中、大 三種 “田” 字
從 A 經過 C 走到 D，有 3 * 3 種走法
從 A 不經過 C 走到 D，有 2 * 2 種走法
從 小“田” 字 的左下角 A 走到右上角 D 是 3 * 3 + 2 * 2 = 13 種走法
從 中“田” 字 的左下角走到右上角是 13 * 13 + 2 * 2 = 173 種走法
所求是從 大“田” 字 的左下角走到右上角是 173 * 173 + 2 * 2 = 29933 種走法
填充9. 另解
當C在x軸上方時令 t = AC斜率=y/(x+1)=tan(角A)
BC斜率=y/(x-2)=tan(180度-2角A)=-2t/(1-t^2)=-2y/(x+1)/(1-y^2/(x+1)^2)=-2y(x+1)/((x+1)^2-y^2)
1/(x-2)=-2(x+1)/((x+1)^2-y^2) => x^2-y^2/3=1 , x>1 (角B>角A=> CA>CB,C在AB中垂線x=1/2之右,故C只在雙曲線的右支,右頂點(1,0))
當C在x軸下方時,C之軌跡圖形與上述圖形對稱x軸,故答案依舊如上
當角A趨近於零度時 , CA:CB=sin(2角A):sin(角A)=2sin(角A)cos(角A):sin(角A)=2cos(角A):1 趨近於 2:1,此時 C趨近於右頂點(1,0)
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-11 12:25 編輯 [/i]] 想請教填充8、填充14，謝謝。 填充 8. 在已知抽出3張牌皆為紅心的條件下，
其餘 49 牌為遺失的機率均等，均為 \( \frac{2}{49} \)
故所求 \( \frac{2}{49} \times 10 = \frac{20}{49} \)
回覆 15# koeagle 的帖子
填充 14.令直線 \( L \) 為 \( \frac{x-2}{2021}=\frac{y-3}{2022}=\frac{z+4}{2023} \) 為一平行於 \( L_k \) 之直線
故 \( L \) 上的 \( P \) 到 \( L_k \) 的距離 \( d_k \)、 \( L_k \) 上一點 \( (k,k,k) \) 到 \( L \) 的距離均為兩平行線間的距離。
而 \( (k,k,k) \) 為直線 \( M: x=y=z \) 上的動點，故所求 \( d_k \) 的最小值即為 \( M \) 和 \( L \) 兩歪線線距離。
外歪線距離(外積、構造平行平面、點面距) 計算可得 \( \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{4}{3} \sqrt{6} \) 想問問版上老師
填充13這樣子做會錯在哪裡
回覆 17# tsusy 的帖子
謝謝 tsusy 老師。回覆 18# CYC 的帖子
做垂直a且通過a的直線，與垂直b且通過b的直線,求交點與c內積第2步兩邊要分開取
0.5x<ybc<1+0.5x
=>0<ybc<1.5
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2023-5-11 23:39 編輯 [/i]]
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