112新北市高中聯招
一、填充題6.
兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;,\langle\;b_n\rangle\;\)，滿足\(a_1=2\)，\(b_1=1\)，且\(a_{n+1}=5a_n+3b_n+7\)，\(b_{n+1}=3a_n+5b_n\)，\(n\in N\)，試求\(a_n\)的一般式。
thepiano所提到同類型的題目要一起準備，你有準備嗎？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7959[/url]
9.
\(ABCD\)為平行四邊形且點\(E,F\)分別落在\(AB,BC\)邊上。若\(\Delta AED\)的面積等於7、\(\Delta EBF\)的面積等於3、\(\Delta CDF\)的面積等於6。則\(\Delta DEF\)的面積為何？
E,F分別在矩形ABCD的邊\( \overline{BC} \),\( \overline{CD} \)上，若\( \Delta ABE \),\( \Delta ECF \),\( \Delta AFD \)的面積分別為3,1,2，則\( \Delta AEF \)的面積是[u] [/u]。
(103桃園高中二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11257[/url])
10.
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}\)的值。
[解答]
先計算取\(ln\)的極限
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}ln \root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}ln \left[ \frac{n!}{n!}\left(\frac{(n+1)(n+2)\ldots(n+n)}{1\cdot 2 \ldots n}\right)\left(\frac{(2n+1)(2n+2)\ldots(2n+n)}{1\cdot 2\ldots n}\right)\right]\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}ln \left(\frac{(n+1)(n+2)\ldots(n+n)}{1\cdot 2 \ldots n}\right)+\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}ln \left(\frac{(2n+1)(2n+2)\ldots(2n+n)}{1\cdot 2\ldots n}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n ln \left(\frac{n+k}{k}\right)+\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n ln \left(\frac{2n+k}{k}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n ln \left(\frac{1+\frac{k}{n}}{\frac{k}{n}}\right)+\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n ln \left(\frac{2+\frac{k}{n}}{\frac{k}{n}}\right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1 ln\left(\frac{1+x}{x}\right)dx+\int_0^1 ln\left(\frac{2+x}{x}\right)dx\)
寫成瑕積分
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\int_a^1 ln\left(\frac{1+x}{x}\right)dx+\lim_{a\to 0^{+}}\int_a^1 ln\left(\frac{2+x}{x}\right)dx\)
分部積分公式\(\int u dv=uv-\int v du\)
[table][tr][td]\(\displaystyle u=ln\left(\frac{1+x}{x}\right)\)，\(\displaystyle du=\frac{x}{1+x}\cdot \frac{1(x)-(1+x)1}{x^2}=\frac{-1}{x(x+1)}\)
\(dv=1\)，\(v=1+x\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1-\int_a^1 (1+x)\cdot \frac{-1}{x(x+1)}dx \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1+\int_a^1 \frac{1}{x}dx \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1+ln(x)\Bigg\vert\;_a^1 \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[2ln2-ln\left(\frac{1+a}{a}\right)(1+a)+ln1-ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =2ln2-\lim_{a\to 0^{+}}\left[(ln(1+a)-ln(a))(1+a)+ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =2ln2-\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln(1+a)+aln(1+a)-ln(a)-aln(a)+ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =2ln2-0\)
\(\displaystyle =2ln2\)[/td][td]\(\displaystyle u=ln\left(\frac{2+x}{x}\right)\)，\(\displaystyle du=\frac{x}{2+x}\cdot \frac{1(x)-(2+x)1}{x^2}=\frac{-2}{x(x+2)}\)
\(dv=1\)，\(v=2+x\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1-\int_a^1 (2+x)\cdot \frac{-2}{x(x+2)}dx \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1+2\int_a^1 \frac{1}{x}dx \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1+2ln(x)\Bigg\vert\;_a^1 \right]\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[3ln3-ln\left(\frac{2+a}{a}\right)(2+a)+2ln1-2ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =3ln3-\lim_{a\to 0^{+}}\left[(ln(2+a)-ln(a))(2+a)+2ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =3ln3-\lim_{a\to 0^{+}}\left[2ln(2+a)+aln(2+a)-2ln(a)-aln(a)+2ln(a)\right]\)
\(\displaystyle =3ln3-2ln2\)
\(\displaystyle =ln27-2ln2\)[/td][/tr][/table]
\(=2ln2+ln27-2ln2\)
\(=ln27\)
∵\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}ln \root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=ln27\)
∴\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=27\)
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}ln\left(\frac{(2n)!}{n^n n!}\right)\)？
[url]https://math.stackexchange.com/questions/918080/riemann-sum-of-log-function[/url]
二、計算證明題
1.
若方程式\(x^3+2x^2+3=0\)之三根為\(\alpha,\beta,\gamma\)，求\(\displaystyle |\;(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta})(\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\gamma})(\frac{1}{\gamma}-\frac{1}{\alpha})|\;\)之值為？
感謝Ellipse提醒，公式要缺\(x^2\)項
\(x^3+px+q=0\)的三根為\(\alpha,\beta,\gamma\)則\((\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2=-4p^3-27q^2\)
證明，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=164&page=2#pid18936[/url]
3.
\(a,b,c\)皆正，且\(a+b+c=3\)，試證\(\displaystyle \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}\)
中一中合作盃金頭腦第37次有獎徵答，檔案有解答 請問填充1
[[i] 本帖最後由 CYC 於 2023-5-8 00:02 編輯 [/i]] 計算1
原設計的方程式要改成缺x² 項,使用-4p^3-27q² 公式
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 21:26 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]CYC[/i] 於 2023-5-7 20:28 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25007&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充1，10 [/quote]
填充1
解出一個答案
(看3,4,5的畢氏組)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 21:11 編輯 [/i]]
回覆 4# Ellipse 的帖子
計算第 1 題以 α、 β 、γ 為三根的方程式是 x^3 + 2x^2 + 3 = 0
以 1/α、 1/β 、1/γ 為三根的方程式是 3x^3 + 2x + 1 = 0，即 x^3 + (2/3)x + (1/3) = 0
這樣就可以用那個公式了
回覆 5# Ellipse 的帖子
謝謝老師填3
[attach]6654[/attach] 計算第 2 題先證：任意四個整數中，必可找到兩個整數經由相加、相減或相乘，成為 8 的倍數
(1) 四數中至少有一個 8 的倍數
選 8 的倍數和另一數相乘
(2) 四數均不為 8 的倍數
若有兩數除以 8 的餘數相同
兩數相減
若四數除以 8 的餘數均不同，由於除以 8 的餘數可分成 (1，7)、(3，5)、(2，4，6) 這三組，由鴿籠原理，此四數必至少有兩數在同一組
此三組中，(1，7)、(3，5)、(2，6)，兩數相加
(2，4)、(4，6)，兩數相乘
再證：任意兩個整數必可經由相加、相減或相乘，成為 3 的倍數
(1) 兩數中至少有一個 3 的倍數
兩數相乘
(2) 兩數均不為 3 的倍數
若兩數除以 3 的餘數相同，則兩數相減
若兩數除以 3 的餘數不同，則兩數相加
最後再把上面兩組數相乘，即為 24 的倍數
填8
[attach]6655[/attach] 填3另解:依題意知x²+z² =1-y²
由柯西不等式得
(x²+z² )(1² +1²)≧ (x+z)²
所以(1-y² )*2≧ (x+z)²
=> 2y²(1-y² )≧y²(x+z)²
-[2y²(1-y² )]^0.5 ≦ y(x+z) ≦ [2y²(1-y² )]^0.5-------(1)
又[2y²(1-y² )]^0.5 =[ -2(y²-1/2)²+1/2]^0.5---------(2)
由(1)&(2)得, 當y² =1/2時 , 所求y(x+z)有最大值(1/2)^0.5
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-7 23:50 編輯 [/i]]
填充第3題
[quote]原帖由 [i]chu[/i] 於 2023-5-7 21:54 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25012&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]6654 [/quote]
Largrange Multiplier的話，只有一個Critical Point，還要再check它是極大還是極小比較嚴僅。
否則若題目改成問最小值，沒有check的話就會出錯了。
不過這是填充，其實直接賭它就是所求，十成都會對就是了。
不過我想，在高中端應該不會出到一定要用Largrange multiplier的題目。
這題應該是用算幾湊一下即可：
\(1=x^2+y^2+z^2=(x^2+\frac{y^2}2)+(\frac{y^2}2+z^2)\geq 2\frac{xy}{\sqrt{2}}+2\frac{yz}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(xy+yz)\)
等號發生在\(x=z=1/2, y=\frac1{\sqrt{2}}\)
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 11:02 編輯 [/i]]
證明第2題
因為任兩個數，都可以運算出3的倍數。(兩數若有一數是3的倍數就相乘，若兩數除以3餘數相同則相減即可，剩下一個是餘1另一個是餘2的情況，就兩數相加。)
因此，只要說明四個整數一定有兩個可以運算出8的倍數，然後剩下兩個運算出3的倍數，再相乘即可。
以下證明四個整數一定有兩個可以運算出8的倍數：
我們依除以8的餘數來分四類，{0,4},{1,7},{2,6},{3,5}
若有一類出現兩個：{1,7},{2,6},{3,5}這三類的就相加或相減，若是{0,4}出現兩個，就相乘，如此可以製造出8的倍數
若每類各一個：則就選{0,4}與{2,6}的數相乘，也會是8的倍數。
抱歉, 後來才發現前面鋼琴老師有貼了，證法一樣。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-7 23:54 編輯 [/i]]
證明第1題
[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-5-7 20:47 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25008&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算1
原設計的方程式要改成缺x² 項,使用-4p^3-27q² 公式 [/quote]
有沒有\(x^2\)做法都一樣。
設\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)
則\(f'(x)=3x^2+4x=(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\beta)(x-\gamma)\)
所求\(=\displaystyle\left|\frac{(\beta-\alpha)(\gamma-\beta)(\alpha-\gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}\right|=\left|\frac{-f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)}{81}\right|^{\frac12}=\left|\frac{(3\alpha^2+4\alpha)(3\beta^2+4\beta)(3\gamma^2+4\gamma)}{81}\right|^{\frac12}\)
\(\displaystyle=\left|\frac{(3\alpha+4)(3\beta+4)(3\gamma+4)}{27}\right|^{\frac12}=\left|(-\frac43-\alpha)(-\frac43-\beta)(-\frac43-\gamma)\right|^{\frac12}\)
\(\displaystyle=\sqrt{\left|f(-\frac43)\right|}=\sqrt{\frac{113}{27}}\)
同樣方法可以推廣到更高次的多項式，可以參考「[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant]wiki: Discriminant[/url]」。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-7 23:46 編輯 [/i]]
第6題
這題當然可以直接解，不過，由出題者的數字，我猜原意應該是這樣解：
兩式相加得\(a_{n+1}+b_{n+1}+1=8(a_n+b_n+1)=8^n(a_1+b_1+1)=2^{3n+2}\)
兩式相減得\(a_{n+1}-b_{n+1}+7=2(a_n-b_n+7)=2^n(a_1-b_1+7)=2^{n+3}\)
解聯立可得\(a_n=2^{3n-2}+2^{n+1}-4\) 填充 10
這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~ 填充 1
解釋為何沒有第二組解的部分 [quote]原帖由 [i]fierthe[/i] 於 2023-5-8 00:30 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25020&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 10
這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~ [/quote]
正解…
我打字才打一半，你就貼了…
可以參考這本高微Mathematical Analysis: An Introduction
[attach]6658[/attach]
就相當於在驗證數列\(\displaystyle\sum\frac{(3n)!}{(n!)^3}\)的斂散性，
因為ratio test能驗證的出來的話，root test一定也可以，而且極限一樣。
所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3}}{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3}=27\)
因此原題也是\(27\)。
不過，我覺得考這個沒意思就是了。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 01:13 編輯 [/i]]
證明第3題
\(\displaystyle(a+b+c)-\left(\frac a{b^2+1}+\frac b{c^2+1}+\frac c{a^2+1}\right)=\frac b{b^2+1}ab+\frac c{c^2+1}bc+\frac a{a^2+1}ac\leq\frac12ab+\frac12bc+\frac12ac\leq\frac12\times\frac13(a+b+c)^2\)然後\(a+b+c=3\)代入即可。 計算證明 1
用了一些複數的運算性質也算出答案來了，甚至還寫出了六次多項式的除法，越除會越開心。
但你不會希望在考場上算出餘式有一次項來的，所以算是個欣賞用的解法囉！
[attach]6659[/attach]
[attach]6660[/attach]
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