填充第2題
這題跟前幾週中山大學的雙週一題類似。使用排容：\(C^9_5-8C^6_2+22=28\)種。
填充第4題
直接列舉最快了234, 245, 256, 345, 346, 356，共6種。
如果不限制邊相異，或是只限制最大邊，都有一般性的公式。可以參考「wiki: Integer triangle」。
填充第5題
因為\(\frac1s+\frac1p=\frac3q\)，同乘\(spq\)得\(pq+sq=3sp\)，又因為\(s=pq\)，所以\(pq+pq^2=3p^2 q\)所以\(1+q=3p\)，所以\(p=2\)，進而推得\(q=5,s=10\)，所以總和為\(17\)。 [quote]原帖由 [i]fierthe[/i] 於 2023-5-8 01:25 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25024&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算證明 1
用了一些複數的運算性質也算出答案來了，甚至還寫出了六次多項式的除法，越除會越開心。
但你不會希望在考場上算出餘式有一次項來的，所以算是個欣賞用的解法囉！
6659
6660 ... [/quote]
這樣你也算的出來，太強了…
填充3. 另解
建立球面座標系可令 x=cosAcosB , z=cosAsinB , y=sinA , -90度<=A<=90度 , 0度<=B<360度
xy+yz=y(x+z)=sinAcosA(sinB+cosB)=1/2sin2A*ㄏ2*sin(B+45度)
所以 A=45度 , B=45度 時 或 A=-45度 , B=225度 時有最大值ㄏ2/2
此時 x=z=1/2 , y=1/ㄏ2 或 x=z= -1/2 , y= -1/ㄏ2
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-8 10:11 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-5-7 23:17 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25018&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
有沒有\(x^2\)做法都一樣。
設\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)
則\(f'(x)=3x^2+4x=(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\beta)(x-\gamma)\)
所求\(=\displaystyle\left|\frac{(\beta-\alpha)(\ga ... [/quote]
這題若沒有要背那個公式或用微分方式
還可以用"范德蒙行列式"+"根與係數"求出來
第10題不用ratio test
雖然root test強於ratio test，但因為每次都ratio test比較好算，而且在taylor series時，也都用ratio test在判斷收斂區間，所以還是不能捨掉ratio test。不過若硬要使用root test來取代ratio test的題目的話，我查了一下，要下面幾個lemma
1) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty\)
2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac1e\)
3) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(kn)!}{(n!)^k}}=k^k, k\in\mathbb{N}\)
此題剛好是3) ，所以…\(3^3=27\)
或是直接使用stirling approximation，在\(n\)很大時
\(\displaystyle n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\)
代入即可。
出題教授可能剛好有教到這個，然後就直接拿來考了…
雖然說教甄沒有範圍，但感覺不怎麼適合。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 10:59 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]fierthe[/i] 於 2023-5-8 00:30 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25020&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 10
這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~ [/quote]
這內容有提到的關鍵正是
"柯西第二極限定理"
然後我覺得這跟ratio test ,root test沒太大關係?
ratio test 只是在測驗 sigma {a_n} 這級數是否收斂
利用L=limit a_(n+1)/a_n 來看
但這題L=27 >1 ,ratio test 說這樣級數會發散
然後要怎說明L=limit {a_(n+1)/a_n} =limit ( a_n)^(1/n) ?
這地方則是使用到"柯西第二極限定理"
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-8 11:09 編輯 [/i]] 計算第 1 題
比較樸實的方法
考場上有做對，考後重寫一直各種計算錯誤～
[attach]6879[/attach]
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2024-3-9 13:17 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-5-8 10:31 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25033&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這內容有提到的關鍵正是
"柯西第二極限定理"
然後我覺得這跟ratio test ,root test沒太大關係?
ratio test 只是在測驗 sigma {a_n} 這級數是否收斂
利用L=limit a_(n+1)/a_n 來看
但這題L=27 >1 ,ratio test 說這 ... [/quote]
可以參考Rudin高微的68頁Thm 3.37 (這次換一本比較常見的)
定理本身跟root test與ratio test沒有關係，只是通常都會聯想到。
以下截圖自課本：
[attach]6662[/attach]
其中最後提到的Thm 3.20(b)是這個
[attach]6663[/attach]
若不習慣高微的證法，也有比較直覺的方式
[attach]6664[/attach]
檔案來源在附件中。 [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-5-8 10:11 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25032&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
出題教授可能剛好有教到這個，然後就直接拿來考了…
雖然說教甄沒有範圍，但感覺不怎麼適合。
[/quote]
真的要幫忙反映一下
大學教授不要再出這種沒有鑑別度的題目
除非是剛畢業且對高微很熟的人
不然還會有幾個記得Rudin的書裡面有這個?
考這種觀念,高中老師也教不到
還記得有一次去考某間獨招
好像只有8題左右計算/證明
然後每題都是大學/研究所裡面的題型
結果考出來一堆人零分....
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-8 14:16 編輯 [/i]]
填充2.另解
ABCDEF
GHI
(1) 選中E : 則(A,I),(D,F),(G,C),(B,H)這四組中恰各選出一個,方法 2^4-4*2=8
(2) 沒選中E : 方法 C(8,5)-4*C(5,2)+4=20
所以方法共 8+20=28
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2023-5-8 15:36 編輯 [/i]] 填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考
可以先看到\(\displaystyle (3n)!=\left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-1)\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-2)\right)\)
而\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}3k}{n!}}=3\)， 所以需要思考的就剩下\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}(3k-1)}{n!}}=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}和\sqrt[n]{\frac{\displaystyle \prod^n_{k=1}(3k-2)}{n!}}=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)了。
\(由算術平均數\geq幾何平均數\geq調和平均數\) 可得
\[\displaystyle \frac{\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}{n} \geq \sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq \frac{n}{\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{k}{3k-1}}\]
所以
\[\displaystyle 3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k} = \frac{\displaystyle 3n-\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}}{n} \geq \sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{3}\left(n+\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}\right)} =\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}\]
而因為調和級數的特性，所以\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}=0 \;\;且\;\; \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}=0 \)
所以
\[\displaystyle 3= \lim_{n\rightarrow \infty} 3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k} \geq \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}} \geq = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{(3k-1)}}=3\]
故\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}=3\) ， 同理\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}=3\)
所以所求3*3*3=27
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-16 10:35 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]5pn3gp6[/i] 於 2023-5-15 10:03 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25083&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考
可以先看到\(\displaystyle (3n)!=\left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}(3k-1)\right)\left ... [/quote]
能想到這樣的方法…很不錯…
不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…
或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限項使用不等式，然後大家一起n驅近無限大…
看看這樣可不可行。 [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-5-19 22:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25101&ptid=3741][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…
或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限 ... [/quote]
謝謝教授回覆，我倒是真的忘記算幾不等式直接推到無限很危險，不過我的確是用夾擠定理來處理這題。
但剛剛y再看一次，覺得有些細節沒有講得很清楚，可能也會讓後續的人誤會，
我試著修改一下：
\(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=\sqrt[n]{\frac{\displaystyle \left(\prod^n_{k=1}3k\right)\left(\prod^n_{k=1}3k-1\right)\left(\prod^n_{k=1}3k-2\right)}{n!\cdot n!\cdot n!}}=\sqrt[n]{\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}\right)}=3\cdot\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\cdot\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)
先來看\(\displaystyle\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\)
設\(\displaystyle a_n=\frac{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}{n} ，則 a_n=\frac{\displaystyle \sum^n_{k=1} \left( 3-\frac{1}{k}\right)}{n} =3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\) ；
設\(\displaystyle g_n=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\) ；
設\(\displaystyle h_n=\frac{n}{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{k}{3k-1}}，則 h_n=\frac{n}{\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3k-1}\right)}=\frac{3n}{\displaystyle n+\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}=\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}\)
由\(由算術平均數AM\geq幾何平均數GM\geq調和平均數HM\)，可得\(a_n\geq g_n\geq h_n\)
而由調和級數的特性，可得
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow }a_n=\lim_{n\rightarrow }\left(3-\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\right)=3-0=3\)
與
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow }h_n=\lim_{n\rightarrow }\frac{3}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}}=\frac{3}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow }\left(1+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{3k-1}\right)}=\frac{3}{1+0}=3\)
由夾擠定理\(a_n\geq g_n\geq h_n\) 則 \(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }a_n\geq \lim_{n\rightarrow }g_n\geq \lim_{n\rightarrow }h_n=3\)
故\(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }g_n=\lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}}\)
同理\(\displaystyle 3=\lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}}\)
故所求\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow }\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=\lim_{n\rightarrow }3\sqrt[n]{\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-1}{k}\right)\left(\prod^n_{k=1}\frac{3k-2}{k}\right)}=3*3*3=27\)
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-22 10:06 編輯 [/i]]
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