112嘉義高中
1.將2023寫成連續正整數之和的方法數2.A={z|z屬於複數,|(1/z)-1|>=1},B={z|z屬於複數,|z-1|<=1} 求A交集B的面積3.正八面體 2頂點A(2,4,5),C(4,4,7) 若G(3,5,6)在三角形ABC內部，則F座標為?
4.n是大於5的整數，存在實數a,b,c,d,e使得 n^5=a*C^n_5+b*C^n_4+c*C^n_3+d*C^n_2+e*C^n_1,則a+b+c+d+e=?
5.只用0,1,2,3，長度n表示由n個數組成(可重複)，f(n)表示所有長度為n的數列中連續兩個0出現的次數總和，像是f(3)中，100算1次，002也算1次，000則算是2次，求f(9)有幾個正因數?
6.四顆公正的骰子，骰出四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則繼續投擲，求投出次數的期望值。
7.k為整數，若[b]∫[/b][b][size=2]^x_3 |t-5|dt=2x-2023/k 有3個相異根，則k有__個不同的可能值。[/size][/b]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]8.四個平行的平面，E1:3x+4y+5z=0,[/b][/color][/size][/font][b]E2:3x+4y+5z=1,[/b][b]E3:3x+4y+5z=2,[/b][b]E4:3x+4y+5z=3，正四面體的四個頂點A,B,C,D分別在E1,E2,E3,E4上，則四面體ABCD和E2相交的截面積=?[/b]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]9.半徑為6的圓柱，被通過直徑AB與底面積夾角為30度的平面所截，求較小塊的體積=?[/b][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]10.1*3*C^16_1(3/4)(1/4)^15+2*4*C^16_2(3/4)^2(1/4)^14+...+16*18*C^16_16(3/4)^16=?[/b][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]11.袋子裡5顆黑球3顆白球，隨機取一顆不放回，共取4次，排成一列，X表取出的4顆球變色數。例:黑黑黑黑，X=0。黑白黑黑，X=2，則X的期望值=?[/b][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]18.橢圓(x^2)/m+(y^2)=1.(m>1),雙曲線(x^2)/n-(y^2)/3=1(n>0)有相同的焦點F1,F2,P為兩曲線的一交點，則tan角F1PF2=?[/b][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][b]剩下再麻煩其他老師補充一下[/b][/color][/size][/font]
[font=sans-serif][size=2][color=#202122][/color][/size][/font]
112.4.30版主補充
嘉義高中公布題目和答案 1.
將2023寫成連續正整數的和(至少兩個)的方法數有[u] [/u]種。
(98松山高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=827&page=1#pid1797[/url])
4.
若\(n\)為大於5的正整數，且存在實數\(a,b,c,d,e\)使得\(n^5=aC_5^n+bC_4^n+cC_3^n+dC_2^n+eC_1^n\)，則\(a+b+c+d+e\)之值為[u] [/u]。
[解答]
[url]https://math.pro/db/thread-673-1-1.html[/url]
\(\matrix{0&&1&&32&&243&&1024&&3125&&7776\cr
&1&&31&&211&&781&&2101&&4651&\cr
&&30&&180&&570&&1320&&2550&&\cr
&&&150&&390&&750&&1230&&&\cr
&&&&240&&360&&480&&&&\cr
&&&&&120&&120&&&&&}\)
\(n^5=120C_5^n+240C_4^n+150C_3^n+30C_2^n+1C_1^n+0C_0^n\)
9.
有一個底半徑為6公分的圓柱體，被一個通過直徑\(AB\)且與底面夾\(30^{\circ}\)角的平面所截，試求所截出較小塊的立體體積為[u] [/u]立方公分。
公式：\(\displaystyle \frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011[/url]
10.
求\(\displaystyle 1\cdot 3\cdot C_1^{16}(\frac{3}{4})^(\frac{1}{4})^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}(\frac{3}{4})^2(\frac{1}{4})^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}(\frac{3}{4})^{16}\)之值[u] [/u]。 填充5
考慮所有只用\(0,1,2,3\)四種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成(可重複出現)。令\(f(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故\(f(3)=8\)。求\(f(9)\)有[u] [/u]個正因數。
[解答]
有誤請指正，也謝謝piano老師的答案，不知piano老師的作法亦是相同
回覆 3# peter0210 的帖子
您的方法太漂亮了，感謝指導原來要用二階遞迴，難怪我用一階做了老半天 填充5.
考慮所有只用\(0,1,2,3\)四種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成(可重複出現)。令\(f(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故\(f(3)=8\)。求\(f(9)\)有[u] [/u]個正因數。
[解答]
[img]https://i.imgur.com/5sr9HNs.png[/img] 想請教第8題
有四個平行平面：\(E_1\)：\(3x+4y+5z=0\)、\(E_2\)：\(3x+4y+5z=1\)、\(E_3\)：\(3x+4y+5z=2\)及\(E_4\)：\(3x+4y+5z=3\)，若一正四面體的四頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分別在\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)及\(E_4\)，則此正四面體和\(E_2\)相交的截面積為[u] [/u]平方單位。
[解答]
我的做法如圖，所求的區域即是三角形BGH，而從題目給的條件可以知道
\(\displaystyle\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)
從這個去推在正四面體邊長為a的情況下，三角形BGH的面積
然後再由此可得到四面體A-BGH的體積，即是正四面體ABCD體積的六分之一。
而四面體A-BGH的體積又可以寫成
\(\frac{1}{3}三角形BGH面積× E_1和E_2的距離\)
藉著這個關係，就可以回推a是多少，從而得到所求三角形BGH的面積
但我覺得寫起來好累......，想要問各位老師是怎麼處理這一題的？
謝謝
回覆 6# 5pn3gp6 的帖子
1. 面積的部分：可以構造另一個簡單坐標的四面體，再縮放某正四面體的頂點坐標 \( A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1) \)，邊長為 \( \sqrt{2} \)
G 在 AD 上，且 \( AG:GD = 1:2 \)，G的坐標為 \( (1,\frac13,\frac13) \)
H 為 AC 中點，H 的坐標為 \( (\frac12,0,\frac12) \)
透過外積，可計算得三角形 BGH 的面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{6} \)
若伸縮成邊長為 \( a \) 的正四面體積時，面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{12} a^2 \)
2. 令 \( M, N \) 分別為 AD, BC 中點，將AD沿著 \( \vec{MN} \) 平移得 A'D'
此時，A'D' 和 BC 互相垂直平分
令 \( \vec{n} \) 平面 \( E_1 \) 的一個法向量，\( \theta \) 為 \( \vec{AD} \) 和 \( \vec{n} \) 的夾角。
由四個平面得距離關係可得 \( \sin \theta = 3 |\cos \theta| \Rightarrow \sin \theta = \frac 3{\sqrt{10}} \)
而 \( E_1, E_4 \) 的距離為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \)，故此四面積體的邊長為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \cdot \frac 1{\sin \theta} = \frac1{\sqrt{5}} \)
綜合以上，所求 \( =\frac{\sqrt{5}}{60} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2023-5-3 09:39 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24962&ptid=3738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1. 面積的部分：可以構造另一個簡單坐標的四面體，再縮放
某正四面體的頂點坐標 \( A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1) \)，邊長為 \( \sqrt{2} \)
G 在 AD 上，且 \( AG:GD = 1:2 \)，G的坐標為 \( (1,\frac13,\frac13) ... [/quote]
感謝寸絲老師!
做的時候還真的沒有想到可以先構造一個好座標化的四面體，
害我用外積求面積的時候，化簡不出來，只好另許他法處理面積。 請教2,6(有除了窮舉以外的方法嗎),10 第10題
求\(\displaystyle 1\cdot 3 C_1^{16}\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}\left(\frac{1}{4}\right)^{16}\)之值[u] [/u]。
[解答]
第5題
考慮所有只用\(0,1,2,3\)四種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成(可重複出現)。令\(f(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故\(f(3)=8\)。求\(f(9)\)有[u] [/u]個正因數。[解答]
這題直接看即可。
長度\(n\)的數列，有\(n-1\)的位置可以提供一次\(00\)，其它位置亂排，所以是\((n-1)4^{n-2}\)。
112學年數B第17題
考慮所有只用\(0,1,2\)三種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成（可重複出現）。令\(a(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，100，200，其中000貢獻2次 00，其餘各貢獻1次00，故\(a(3)=6\)。則\(a(5)\)的值為[u] [/u]。
因為\(a(n)=(n-1)3^{n-2}\)，所以題目問的\(a(5)=4\times 3^3=108\)
回覆 9# enlighten0626 的帖子
第 6 題若擲四顆相同的公正骰子，當四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則再擲一次，請問投擲次數的期望值為[u] [/u]。
[解答]
積為完全平方數的情形
四同：6 種
三同一異：8 種
二同二同：90 種
二同二異：48 種
四異：48 種
計 200 種
投擲一次，積為完全平方數的機率 = 200 / 6^4 = 25/162
所求 = 162/25
回覆 9# enlighten0626 的帖子
第 2 題複數平面上，\(\Omega=\{\;z|\;z\in C且|\;\frac{1}{z}-1|\;\ge 1 \}\;\)，\(\Omega_2=\{\; z|\;z\in C且|\;z-1|\;\le1\}\;\)，求\(\Omega_1 \cap \Omega_2\)的區域面積為[u] [/u]。
[解答]
| z - 1 | <= 1，表示以 (1，0) 為圓心，半徑為 1 的實心圓
| 1/z - 1 | >= 1
| z || 1/z - 1 | >= | z |
| z - 1 | >= | z |，表示此點到 (1，0) 的距離大於到原點的距離，即直線 x = 1/2 左邊的部分
剩下的就簡單了
第10題
求\(\displaystyle 1\cdot 3 C_1^{16}\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}\left(\frac{1}{4}\right)^{16}\)之值[u] [/u]。[解答]
用2項式定理來湊，
\((x+y)^{16}\)對\(x\)偏微分得\(16(x+y)^{15}\)
乘\(x^3\)再對\(x\)偏微分再除以\(x\)，得\(16(3x(x+y)^{15}+15x^2(x+y)^{14})\),
然後\(x=\frac34, y=\frac14\)代入，得\(16(3\times\frac34+15\times(\frac34)^2)=171\)
第4題
若\(n\)為大於5的正整數，且存在實數\(a,b,c,d,e\)使得\(n^5=aC_5^n+bC_4^n+cC_3^n+dC_2^n+eC_1^n\)，則\(a+b+c+d+e\)之值為[u] [/u]。[解答]
題目雖說n大於5，但這是n的5次方程式，若n大於5都對的話，所有的n都對，
因此，n代1,2,3,4,5，分別解出e=1, d=30, c=150, b=240, a=120。
第6題
[quote]原帖由 [i]enlighten0626[/i] 於 2023-5-3 20:55 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24968&ptid=3738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教2,6(有除了窮舉以外的方法嗎),10 [/quote]
若擲四顆相同的公正骰子，當四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則再擲一次，請問投擲次數的期望值為[u] [/u]。
[解答]
骰子的點數1~6，不外乎質因數為2,3,5
x代表因數2，y代表因數3，z代表因數5
所以計算\(f(x,y,z)=(1+x+y+x^2+z+xy)^4\)展開後，指數都偶數的系數和即可。
先把\(y\)奇數次方的去除，\(\displaystyle \frac{f(x,1,z)+f(x,-1,z)}2=\frac{(2+2x+x^2+z)^4+(x^2+z)^4}2\equiv g(x,z)\)
再把\(x\)奇數次方的去除，\(\displaystyle \frac{g(1,z)+g(-1,z)}2=\frac{((5+z)^4+(1+z)^4)+((1+z)^4+(1+z)^4)}4=\frac{(5+z)^4+3(1+z)^4}4\)
最後再把\(z\)奇數次方去除，得\(\displaystyle \frac{6^4+3\times2^4+4^4}8=200\)
投一次積為平方數機率為\(\displaystyle p=\frac{200}{6^4}\)，幾何分配期望值為\(\displaystyle \frac1p=\frac{6^4}{200}\)
註：
從上面的論述，丟\(n\)骰子，積是平方數的方法數是\(\displaystyle \frac{6^n+3\times2^n+4^n}8\)。
同方法也可以算8面體骰、12面體骰……
代\(1, \omega\)與\(\omega^2\)可以算積是立方數的機率。
代\(1, i, i^2, i^3\)可以算積是四次方數的機率。
代primitive \(n\)th roots of unity的次方，就可以算積是\(n\)次方數的機率。 想請教16題
我是將AO向量 寫成向量AB 和AC的線性組合
AI也是 兩個向量再內積 但在考場這樣做有點慢
也容易做錯
不知道有沒有比較好的做法 謝謝 [quote]原帖由 [i]pollens[/i] 於 2023-5-4 00:23 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24977&ptid=3738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教16題
我是將AO向量 寫成向量AB 和AC的線性組合
AI也是 兩個向量再內積 但在考場這樣做有點慢
也容易做錯
不知道有沒有比較好的做法 謝謝 [/quote]
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=2,\overline{AC}=3,\overline{AB}=4\)，若\(O\)、\(I\)分別為\(\Delta ABC\)之外心及內心，求\(\vec{AO}\cdot \vec{AI}=\)[u] [/u]。
[解答]
只算\(\overrightarrow{AI}\)就好(其實是背公式)。
\(\displaystyle\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2+3+4}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{2+3+4}\overrightarrow{AC}\)
\(\displaystyle\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AO}\cdot\left(\frac13\overrightarrow{AB}+\frac49\overrightarrow{AC}\right)
=\frac13\left(\frac12\bar{AB}^2\right)+\frac49\left(\frac12\bar{AC}^2\right)=\frac83+2=\frac{14}3\) 若\(n\)為大於5的正整數，且存在實數\(a,b,c,d,e\)使得\(n^5=aC_5^n+bC_4^n+cC_3^n+dC_2^n+eC_1^n\)，則\(a+b+c+d+e\)之值為[u] [/u]。
[解答]
提供個人第4題的想法:
[img]https://i.imgur.com/LeOo0NE.png[/img] 謝謝以上老師的精闢回覆
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