有四個平行平面：\(E_1\)：\(3x+4y+5z=0\)、\(E_2\)：\(3x+4y+5z=1\)、\(E_3\)：\(3x+4y+5z=2\)及\(E_4\)：\(3x+4y+5z=3\)，若一正四面體的四頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分別在\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)及\(E_4\)，則此正四面體和\(E_2\)相交的截面積為[u] [/u]平方單位。
[解答] 第十題
求\(\displaystyle 1\cdot 3 C_1^{16}\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}\left(\frac{1}{4}\right)^{16}\)之值[u] [/u]。
[解答]
考慮一個隨機變數X服從二項式分配，n=16，p=3/4
E(X)=12，Var(X)=3
E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=3+144=147
原式=E(X^2)+2E(X)=147+24=171 [quote]原帖由 [i]rice[/i] 於 2023-5-4 09:40 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24982&ptid=3738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第十題
考慮一個隨機變數X服從二項式分配，n=16，p=3/4
E(X)=12，Var(X)=3
E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=3+144=147
原式=E(X^2)+2E(X)=147+24=171 [/quote]
厲害，可以想到這個。 [quote]原帖由 [i]Dragonup[/i] 於 2023-5-4 06:00 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24979&ptid=3738][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
提供個人第4題的想法:
[img]https://i.imgur.com/LeOo0NE.png[/img] [/quote]
很好的組合解釋，
但後面的算法沒有說明，「易知」並不容易。
這其實是排容原理，舉例來說，此題的系數\(c\)，即為\(3\)個相異物可重複選5個排列，每個都要出現的方法數，
所以\(c=3^5-2^5C^3_2+1^5C^3_1=150\)。
一般情況，設\(n^k=a_kC^n_k+a_{k-1}C^n_{k-1}+\cdots+a_0C^n_0\)
此時\(a_i=i^n-C^i_{i-1}(i-1)^n+C^i_{i-2}(i-2)^n+\cdots\)
若只問其中一個系數，就用排容原理比較快，但這題全部系數都要算出，其實直接n代1,2,3,4,5比較快了。
第11題
一袋子中共有8顆球，其中5顆黑球、3顆白球，每一次從袋中隨機取出1球，取後不放回袋中，共取4次且排成一列，\(X\)表示取出的4球的變色數，如：若取出的4球為黑黑黑黑，則\(X=0\)，若取出的4球為黑白黑黑，則\(X=2\)，則\(X\)的期望值為[u] [/u]。[解答]
單純列舉：
Case1:
前4個3黑1白時，白黑黑黑1+黑白黑黑2+黑黑白黑2+黑黑黑白1=6，後4個有\(C^4_2=6\)種，所以\(6\times6=36\)
Case2:
前4個1黑3白時，黑白白白1+白黑白白2+白白黑白2+白白白黑1=6，後4個只有全黑1種，所以\(6\times1=6\)
Case3:
前4個2黑2白時，(黑黑白白1+黑白黑白3+黑白白黑2)*黑白對稱2=12，後4個3黑1白有4種，所以\(12\times4=48\)
\(\displaystyle \frac{36+6+48}{C^8_3}=\frac{90}{56}\)
第9題
有一個底半徑為6公分的圓柱體，被一個通過直徑\(AB\)且與底面夾\(30^{\circ}\)角的平面所截，試求所截出較小塊的立體體積為[u] [/u]立方公分。[解答]
最近微積分剛好上到重積分
平面\(z=\frac y{\sqrt{3}}\)截柱面\(x^2+y^2=36\)，其體積為
\(\displaystyle\int\int \frac y{\sqrt{3}}dA=\int^\pi_0\int^6_0\frac{r^2\sin{\theta}}{\sqrt{3}}drd\theta=48\sqrt{3}\)
請問第7題
請問第7題回覆 27# vicki8210 的帖子
第 7 題設\(k\)為整數，若\(\displaystyle \int_3^x |\;t-5|\;dt=2x-\frac{2023}{k}\)有三個相異實根，則\(k\)有[u] [/u]個不同的可能值。
[解答]
等號左邊積分後是 |x - 5|(x - 5)/2 + 2
畫出 y = |x - 5|(x - 5)/2 + 2 的圖形
它與 y = 2x - 10 切於 (7，4)；與 y = 2x - 6 切於 (3，0)
故當 6 < 2023/k < 10 時，原方程式會有三個相異實根
k = 203 ~ 337
回覆 28# thepiano 的帖子
謝謝您~回覆 28# thepiano 的帖子
老師想請教一下您是怎麼得到等號左邊積分後是 |x - 5|(x - 5)/2 + 2
我是去絕對值分段來討論，積分寫得很繁瑣
回覆 30# Superconan 的帖子
∫|x|dx = |x|x/2∫|t - 5|dt = |t - 5|(t - 5)/2
再從 3 積到 x
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