x,y,z可以全負，但因為最後要算的是xy,yz,xz，所以還是變為正的。
我算只有數值解，沒有symbolic的解
{x = 3.520435185, y = 2.367812516, z = 1.355051591}
{x = -3.520435185, y = -2.367812516, z = -1.355051591} ... [/quote]
第12題
統計推論A plant germination method is successful on average 4 times out of every 10. A horticulturist develops
a new technique which she believes will improve the number of plants that successfully germinate. She takes
a random sample of 50 seeds and attempts to germinate them. Suppose random variable X is defined as the
number of plants that successfully germinate. Using a 5% level of significance, find the rejection region for a
test to check her belief.
Ans：the rejection region is [u] [/u]。
[解答]
[attach]6625[/attach] [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-26 23:24 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24887&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
如果x,y,z是實數,還需要討論到x,y,z負的情形
例如x [/quote]
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 10:16 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24893&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ ... [/quote]
因為考試有時間限制,又是填充題,當然是用過去的經驗迅速解出
您講的是學術上的嚴謹,這大概可以花一些時間研究,寫一篇小論文 [quote]原帖由 [i]chu[/i] 於 2023-4-27 10:03 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24892&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
6625 [/quote]
請問這裡的H0、H1為什麼是這樣寫？ [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-27 10:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24894&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
因為考試有時間限制,又是填充題,當然是用過去的經驗迅速解出
您講的是學術上的嚴謹,這大概可以花一些時間研究,寫一篇小論文 [/quote]
請問這樣子的話，考這種題目不會有失公平性嗎？
變成有看過題型，有預設想法的人可以拿到比較多的分數？ [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 10:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24897&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問這樣子的話，考這種題目不會有失公平性嗎？
變成有看過題型，有預設想法的人可以拿到比較多的分數？ [/quote]
教甄題本來就是比誰看得廣
更何況這個題型已經是很古老考古題
很多學校都考過，且一些競赛訓練書也都有提及做法，相信老手一定都做得出來 請問統計的那題，為什麼都沒有人有異議？
reject region是region，我認為region是集合，不是不等式。
而且因為P({0<=X<=13})=P({X<=13})，
所以如果說拒絕域寫{X<=13}是錯的，
那題目本身的敘述出現P(X<=x)，是不是應該也要被視為錯誤，
必須更正為P(0<=X<=x)？
如果說非負的限制必須寫出來，那整數的條件為什麼又不用規定要寫出來？
就算沒有以上這些問題，我上面提出拒絕域的定義問題，
尚未有人能提出想法贊同或反駁。
感覺又是一道需要有預設想法在考場上才能拿分的題目。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-27 09:03 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24891&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
高維度的，數值解會跟初始值有關，Matlab還是比較強。
不過應該是有8組，可以自訂一下initial point看看。 [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 10:16 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24893&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ ... [/quote]
ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。 [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-4-27 13:21 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24902&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。 ... [/quote]
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？ [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 13:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24903&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？ [/quote]
這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子
[attach]6626[/attach]
因為\(x, y, \sqrt{18}>0\)所以可以視為三角形的三邊，而且x, y的夾角90度，可以畫成下面的樣子
[attach]6627[/attach]
另兩個式子亦同，然後把三個三角形一樣長的邊組合起來，就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…
我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧？
其實這方法我是第一次看到，覺得很神奇，
跟在教書的學生分享，他卻跟我說，這是基本的，他的講議有… 要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？
另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？ [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 21:26 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24906&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？[/quote]
不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。
[quote]
另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？ ... [/quote]
若x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b，可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。
負的話也可以，只是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)，一樣任兩邊和大於第三邊。 [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-4-27 22:11 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24907&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。
若有x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a ... [/quote]
請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。 [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 23:08 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24910&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。 [/quote]
不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。
應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣，圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣，圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣，圖形對原點對稱
所以可以只看四組…
晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…
第五題(分正負)
借用chu的圖[attach]6628[/attach]
(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為
[attach]6629[/attach]
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為
[attach]6630[/attach]
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y-\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為
[attach]6631[/attach]
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|+\frac{|y|z}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為
[attach]6632[/attach]
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x||y|+\frac{|y|z}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(5) 若x<0,y<0,z<0，圖形跟(1)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x||y|+\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(6)若x>0, y<0, z<0，圖形跟(2)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|-\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(7)若x<0,y>0,z<0，圖形跟(3)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y+\frac{y|z|}2-\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(8)若x>0, y>0, z<0，圖形跟(4)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-xy+\frac{y|z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
其實只要O點在三角形ABC外，就會是\(-6\sqrt{22}\)，在三角形ABC內，就會是\(6\sqrt{22}\)。 [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-4-27 23:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24911&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。
應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形轉180度
正正負跟負負正一樣，圖形轉180度
正負正跟負正負一樣，圖形轉180度
正負負跟負正正一樣，圖形轉180度
所以只有四組…
晚點、或明 ... [/quote]
軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。 [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-27 23:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24915&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。 [/quote]
應該8組，因為沒有給初始值，所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑，找出4組，已經算好的了。
我用maple跑，只找出2組。
但初始值給的好，跑出比較多，這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了，要看解是不是stable，這扯太遠了，詳細要看一下數值分析。
第5題(用有向面積)
原題可化為\(\begin{cases} x^2+y^2-2xy\cos 90^\circ=(3\sqrt{2})^2\\y^2+z^2-2yz\cos 150^\circ=(\sqrt{13})^2\\
x^2+z^2-2xz\cos 120^\circ=(\sqrt{19})^2\end{cases}\)
建構\(\overline{OA}=x, \overline{OB}=y, \overline{OC}=z\)皆為有向長度(可正可負)。
且\(\angle AOB=90^\circ, \angle BOC=150^\circ, \angle AOC=120^\circ\)。
而\(\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA\)也是有向面積。
於是\(|\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
所以\(\frac12|xy\sin 90^\circ+yz\sin150^\circ+xz\sin120^\circ|=\frac12|xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\pm 6\sqrt{22}\)