112師大附中
請教填充第 2、7 題112.04.26 補充數學科答案更正
填充第 8 題從 27 更正為 28
填充第 12 題從 X <= 13 更正為 0 <= X <= 13
備註：
1. 答案更正的公告不知道為何才過一個小時就下架了，還好有看到＠＠
2. 我發現學校第二次給的檔案，頁碼的字體跑掉，可能因為是不同電腦轉出來的。於是我編輯第一次的檔案，將這兩題答案改為更正後答案。
3. 當我編輯完，想要從校網重新下載檔案備份時，公告就被撤掉了，如果有老師有載到官網的檔案，希望可以分享上來，謝謝。
4. 謝謝 DavidGuo 老師發現試題答案有誤，若考生發現答案有誤，建議趕快打電話聯繫該校教務處，在這麼艱難的考試中，每一分都很重要！
[attach]6619[/attach] 1.
計算\(sin^2 41^{\circ}+sin^2 19^{\circ}+sin41^{\circ}sin19^{\circ}\)的值為[u] [/u]。
4.
有長方形紙板\(ABCD\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{3}\)。若將沿對角線\(\overline{AC}\)摺起，使\(D\)至\(D'\)位置。由\(D'\)作平面\(ABC\)的垂線\(\overline{D'H}\)，其垂足\(H\)恰好在\(\overline{AB}\)邊上，此時平面\(ABC\)與平面\(ACD'\)所夾的銳角為\(\theta\)，試求\(tan\theta=\)[u] [/u]。
相關題目，[url]https://math.pro/db/thread-567-1-1.html[/url]
5.
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)[u] [/u]。
\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{ x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(102武陵高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139[/url])
回覆 1# Superconan 的帖子
第 2 題已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\)，且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列，試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)[u] [/u]。
[提示]
BC^2、CA^2、AB^2 成等差 第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為[u] [/u]。
[解答]
算兩兩相乘那邊，有使用到 \( z\cdot\overline{z}=|z|^2 \) 的性質。 想問填充8的例子
我只有找出28的例子
感謝
回覆 5# 年獸 的帖子
填充8已知有36位學生參加考試，其平均為60分，標準差為5分，試問至少有多少人的成績會介於\((50,70)\)區間？答：[u] [/u]人。
[解答]
該區間為±2σ
由 柴比雪夫(Chebyshev)定理 得:
P( μ-2σ < x < μ+2σ ) ≥ \(1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}\)
\(36 \cdot \frac{3}{4} = 27\)
回覆 6# Lopez 的帖子
可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝回覆 1# Superconan 的帖子
第 7 題已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為[u] [/u]。
[另解]
為打字方便，把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示，其共軛複數分別是 p'、q'、r'
p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'
|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p
若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i
|p + 2q + 3r| = |p||1 + 2 ± 3i| = √[(1 + 2)^2 + 3^2] = √18
同理
若 q = r，|p + 2q + 3r| = √[(2 + 3)^2 + 1^2] = √26
若 r = p，|p + 2q + 3r| = √[(3 + 1)^2 + 2^2] = √20
|p + 2q + 3r| 的最大值為 √26
第8題
[quote]原帖由 [i]年獸[/i] 於 2023-4-25 20:57 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24864&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝 [/quote]
這題的確有你說的問題，題目出的不好，
第一，他問「至少」。答案寫至少1人，2人，邏輯上也沒有錯，反正至少嘛…
第二，不要吹毛求庛的話，假設我們知道這題在問「最少保證n人在介於(50,70)間，有例子存在，且可以說明n-1不滿足」。
用柴比雪夫算完，是大於等於27，若連續的話沒問題，但這是離散型的，所以邊界要check。
下面說明恰27是不可能的：
因為平均是60，假設27個人是60，剩9個人\(x_1,\dots,x_9\)跟60都要差10分以上，所以變異數在計算時就會多了\(10^2\times 9=900\)，
此時標準差恰為\(\sqrt{\frac{900}{36}}=5\)，只要27個人的分數偏離了60，或是這9人分數離60再遠一點，都會導致標準差變大，也就是這是最緊的情況。
也就是這9個人不是50就是70，但他們的平均又要60，9是奇數，所以不可能。
(或嚴僅一點，\(60=\frac{50n+70(9-n)}9\)解得\(n=4.5\)，如果可以4.5人是50分，4.5人是70，那就可以，但人數是整數，所以不可能。)
所以此題答案應該是28，
例子：28個60分，4個人\(60+\frac{15}{\sqrt{2}}\)，4個人\(60-\frac{15}{\sqrt{2}}\)，這樣剛好36人平均60，標準差5。
(註：解\(8(x-60)^2=900\)，得\(x=60\pm\frac{15}{\sqrt{2}}\))。
可以提疑議了…
但不要主張答案28，要主張28以下的數都對，才不會害到寫27的人…
第6題
將3組小括弧、2組方括弧、1組角括弧排成一列，各種括弧之間沒有先後使用的規定，但是每一組括弧的左括弧必須排在右括弧的左邊，而且每一組括弧中間如果有其他括弧，則這些括弧必須是完整的一組括弧；舉例來說：(<>)[()[]]()是一種合格的排列法，而<)(>[([])]()與(<)>[([])]()都是不合格的排列法。請問以上的6組括弧，共有幾種合格的排列法？ 答：[u] [/u]種。
[解答]
我們知道括號的問題跟Catalan Number有關，
但此題的括號數跟一般的括號不太一樣，
先所有的都看成小括號，
若
1組：()，1種
2組：()(), (())，2種
3組：()()(), (())(), ()(()), (()()), ((()))，5種
4組：()()()()，(()())(), ()(()()), (((()))), (()()()), ((()())), ((()))(), ()((())), (())(()), (())()(), ()()(()), ()(())(), ((())()), (()(()))，14種
可以視為Dick Path, 左括號就是往上走，右括號就往下走，不能低於水平線…
所以6組括號\(C_6=132\)，再乘\(\frac{6!}{3!2!1!}=60\)，所以是\(132\times60=7920\)。
我一開始列錯了，還以為答案錯了…
回覆 9# DavidGuo 的帖子
感謝回覆，在考試時我就是走過這個流程才不寫27寫28，可能當時不要想這麼多直接寫27就沒事了。簡章好像沒有寫怎麼提疑義，所以只好等分數出來再看看...第2題
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\)，且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列，試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)[u] [/u]。[解答]
如附圖:[attach]6620[/attach]
第5題
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)[u] [/u]。[解答]
[attach]6621[/attach]
第3題
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=25,\overline{AC}=30\)，\(\angle B=2\angle C\)，且\(\angle B\)的內角平分線交\(\Delta ABC\)的外接圓於\(D\)點，且\(B\)、\(D\)為相異點。試求\(\Delta BCD\)的面積為[u] [/u]。[解答]
[attach]6622[/attach]
回覆 13# chu 的帖子
這種建構的方法邏輯上是如果x,y,z是圖中的邊長，則他會滿足題意的方程式，但是反過來就有問題了。
若x,y,z滿足題意的方程式，就算x,y,z限制在實數的條件下，邏輯上也不能推論x,y,z是圖中的邊長。
[url]https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2%2By%5E2%3D18%2C+y%5E2%2Bsqrt%283%29yz%2Bz%5E2%3D13%2C+x%5E2%2Bxz%2Bz%5E2%3D19+%2F%2FN[/url]
[url]https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2%2By%5E2%3D18%2C+y%5E2%2Bsqrt%283%29yz%2Bz%5E2%3D13%2C+x%5E2%2Bxz%2Bz%5E2%3D19%2C+2xy%2Byz%2Bsqrt%283%29xz+%2F%2FN[/url] 請問拒絕域的定義，是否有一個統一、有公信力的說法的文獻？
圖片左上角是之前我在朱式幸福看111年彰化女中教甄考古題時遇到的問題。
我自己查教師手冊，感覺拒絕域只是模模糊糊的用例子提到，
但是沒有說怎麼對任給一個隨機變數X的一般情形，定義拒絕域。
圖片右上角是翰林版的教師手冊。
右下角是我查到比較合理定義拒絕域的方式（維基百科），
就是要先對題目給的隨機變數 X 給統計量T(X)，用 sup ... （見圖片右下角）來定義什麼是拒絕域。
圖片左下方是我自己打出來的想法。
我個人的淺見是，課本、教師手冊都沒有清楚定義什麼是拒絕域，出題者應該要想清楚定義的問題。
包括原本111年彰化女中教甄題目，我認為題目也應該要給用來定義拒絕域的統計量T(X)，
還有題目要問的拒絕域應該是最大拒絕域，不然答案不唯一。 [quote]原帖由 [i]Superman[/i] 於 2023-4-26 16:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24876&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這種建構的方法邏輯上是如果x,y,z是圖中的邊長，則他會滿足題意的方程式，
但是反過來就有問題了。
若x,y,z滿足題意的方程式，就算x,y,z限制在實數的條件下，邏輯上也不能推論x,y,z是圖中的邊長。
[url]https://www.wolframalpha[/url] ... [/quote]
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
如果x,y,z是實數,還需要討論到x,y,z負的情形
例如x<0 ,可令X= -x ,還是可以用構造法試看看
但這題依題目條算出來答案還會另外有-6√ (22)這個答案
但官方只給一個答案... [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-26 23:24 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24887&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
[/quote]
x,y,z都負的話，答案還是正吧… [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2023-4-27 08:27 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24888&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
x,y,z都負的話，答案還是正吧… [/quote]
用電腦算x，y，z 有同時正負号的解
導致所求是負的 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-27 08:48 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24889&ptid=3735][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
用電腦算x，y，z 有同時正負号的解
導致所求是負的 [/quote]
x,y,z可以全負，但因為最後要算的是xy,yz,xz，所以還是變為正的。
我算只有數值解，沒有symbolic的解
{x = 3.520435185, y = 2.367812516, z = 1.355051591}
{x = -3.520435185, y = -2.367812516, z = -1.355051591}