112桃園聯招
112桃園聯招11題答案
第11題答案應改為67 9.一正方形\(ABCD\)，在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\)，\(\overline{PB}=12\)，\(\overline{PC}=17\)，試求正方形面積。
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973[/url]) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2023-4-23 19:34 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24822&ptid=3734][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
9.
一正方形\(ABCD\)，在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\)，\(\overline{PB}=12\)，\(\overline{PC}=17\)，試求正方形面積。
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \) ... [/quote]
這題目至少20年前教甄就考過了.... 請問填充第七題 想問填充12
目前思路是分成好幾組，總和為6,12,18,24，然後往下分成千位數字是0,1，再分支成結尾為0,2,4,6,8
不算太難算，因為各組的結果數都在10以下，
但是就是要分成好幾組，我這樣分了31組，最後雖然答案正確，但覺得在考場上分成３１組還要再相加，依我的狀況很有可能會粗心在某個地方。
所以想問問其他解法。
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-24 17:17 編輯 [/i]]
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第 12 題先計算小於 2000 的有幾個
設此數為 abcd，其中 a，b，c 是 0 到 9 的整數，d 是 0 到 9 的偶數，且不全為 0
(1) d = 0
(i) a = 0，b + c = 6，12，18，有 7 + 7 + 1 = 15 種情形
(ii) a = 1，b + c = 5，11，17，有 6 + 8 + 2 = 16 種情形
計 31 種情形
(2) d = 2
(i) a = 0，b + c = 4，10，16，有 5 + 9 + 3 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 3，9，15，有 4 + 10 + 4 = 18 種情形
計 35 種情形
(3) d = 4
(i) a = 0，b + c = 2，8，14，有 3 + 9 + 5 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 1，7，13，有 2 + 8 + 6 = 16 種情形
計 33 種情形
(4) d = 6
同 (1)，但多 1 種 b + c = 0 的情形，有 32 種情形
(5) d = 8
同 (2)，有 35 種情形
2000 以上的有 2004 和 2022 這 2 個
所求 = 31 + 35 + 33 + 32 + 35 + 2 = 168 個
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-24 21:19 編輯 [/i]] 想問填充1，謝謝
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填充 12. 花了不少時間，想了一個可能比較好算的作法，但考試時好像沒這麼多時間想我們先將這樣的正整數補齊四位，如 0024，此時將千位數定為 0、百位數定為 0。
「6的倍數，且每個位數和也是6的倍數」等價於「個位數為偶數，且每個位數和也是6的倍數」
(1) 考慮千位數為 2 的情況，6的倍數有 2004, 2010, 2016, 2022，其中 2004, 2022 兩者符合題意。
(2) 考慮千位數為 0,1，個位數為偶數的情況：
將百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 進行分類
當 b=4,5,..,9, c =0,1,2,...9，各同餘類均出現 10 次。
當 b=0,1,2,3, c =4,5,..,9，各同餘類均出現 4 次。
當 b=0,1,2,3, c =0,1,2,3， \( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 2,2,3,4,3,2 次
故百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 的可能：
\( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 16,16,17,18,17,16 次
因個位數為偶數，故 \( b+c \) 為奇數時必須搭配千位數 1， \( b+c \) 為偶數時必須搭配千位數 0
將千位數記為 a, 故 \( a+b+c \) 模 6 與 0,2,4 同餘，分別出現 32,33,35, 次
\( a+b+c \equiv 0 \) (mod 6) 時，個位數為 0 或 6
\( a+b+c \equiv 2 \) (mod 6) 時，個位數為 4
\( a+b+c \equiv 4 \) (mod 6) 時，個位數為 2 或 8
其中 0000 非正整數。
綜合以上，所求 \( = 2 + 32 \cdot 2 + 33 + 35 \cdot 2 -1 = 168 \)
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填充第 1 題令 |z| = k
k(3z + 2i) = 2(iz - 6)
z = (-12 - 2ki) / (3k - 2i)
k^2 = |z|^2 = (144 + 4k^2) / (9k^2 + 4)
|z| = k = 2 [quote]原帖由 [i]CYC[/i] 於 2023-4-24 14:59 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24829&ptid=3734][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充第七題 [/quote]
設 \(g(x)=f(x)\cdot (x+1)\) ，在 \(x>0\) 的情況下，我們所要找的就是\(g(x)>k\)恆成立
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。
而解 \(g'(x)=0\) ， 即是解 \(x^2-x\ln (x+1)-\ln (x+1)-1=0\) ，
而不難看出 \(x=-1\) 是個看起來可用的解，但實際上卻不能用，不過可以靠他幫我們因式分解，即得到
解 \((x+1)(x-1-\ln (x+1))=0\) 推得導數為0之處，會有 \(x-1=\ln (x+1)\) ，
接著畫圖找兩圖形 \(y=x-1\text{ and }y=\ln (x+1)\) 的交點，可得到兩點， 取x座標為正的那點，設其x座標為 \(a\)
由圖形也不難推得，\(g'(x)\) 在 \(x=a\) 附近是由負轉正，故 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 有最小值。
代x=a 到g(x)中，記得利用 \(a-1=\ln (a+1)\) ，即可得到 \(g(a)=a+1\)
而比較 \(x-1\text{ and }\ln (x+1)\) ， 可得\(2-1=1<\ln(2+1)\text{ and }3-1=2>\ln(3+1)\)，故a介於2~3之間
故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間，取k=3
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謝謝老師回覆 感謝鋼琴老師和寸絲老師回覆第12題感覺上這類題目 mod 同餘 是很好用的武器。
鋼琴老師的方法雖然看起來也分很多分支，但是 d=0 , d=6 同餘， d=2,d=8同餘
就已經比我原本的分支省掉非常多計算步驟了
寸絲老師的方法去看b+c模6的分類，也真的是很漂亮的觀察，而且看起來就更簡潔了
謝謝兩位老師
==以下為我的方法==
2000以上的窮舉就好，只有2004和2022
因為是6的倍數，故個位數字必定是偶數，
接下來以各位數之和去分類，然後固定住千位數字和個位數字去計算：
總和為6：
0 _ _ 0 ：7種、 0 _ _ 2 ：5種、 0 _ _ 4 ：3種、 0 _ _ 6 ：1種 ；
1 _ _ 0 ：6種、 1 _ _ 2 ：4種、 1 _ _ 4 ：2種 。
共28種
總和為12：
0 _ _ 0 ：7種、 0 _ _ 2 ：9種、 0 _ _ 4 ：9種、 0 _ _ 6 ：7種、 0 _ _ 8 ：5種 ；
1 _ _ 0 ：8種、 1 _ _ 2 ：10種、 1 _ _ 4 ：8種、 1 _ _ 6 ：6種、 1 _ _ 8 ：4種 。
共73種
總和為18：
0 _ _ 0 ：1種、 0 _ _ 2 ：3種、 0 _ _ 4 ：5種、 0 _ _ 6 ：7種、 0 _ _ 8 ：9種 ；
1 _ _ 0 ：2種、 1 _ _ 2 ：4種、 1 _ _ 4 ：6種、 1 _ _ 6 ：8種、 1 _ _ 8 ：10種 。
共55種
總和為24： 各數字不能在4以下
0 _ _ 6 ：1種、 0 _ _ 8 ：3種 ；
1 _ _ 6 ：2種、 1 _ _ 8 ：4種 。
共10種
故共有28+73+55+10+2=168種
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-25 12:31 編輯 [/i]]
第8,9,10題
這次桃園只有一個IB缺，缺就是主辦單位的缺，所以可能不想考太難。第8題是課內的，一般情況用正弦加餘弦即可。
這題更快，用5,12,13與12, 16, 20的直角三角形拼起來，可知三角形面積為\(126\)
所以外接圓半徑為\(\frac{20\times21\times13}{4\times126}=\frac{65}6\)
第9題, 老題目了，
[attach]6616[/attach]
第10題，先分甲乙，再分丙丁，\(C^7_4\times H^4_3=700\)
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-4-25 16:51 編輯 [/i]]
第11題
三位數以內的\(H^1_6+H^2_6+H^3_6=36\)種四位數的，第一位數為1的情況\(H^3_6=28\)種
第一位數為2的，2005, 2014, 2023三種
加起來為67。
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第12題，我一開做的時候，基本上和鋼琴老師的過程一樣但想到先前提問時，說分了 31 組，我就不想繼續分類。
然後花了一些時間，才有反過來，用 \( b+c \) 來分類的作法
再看一下，重新改寫成生成函數的寫法
將四位數 abcd 與 \( x^a \cdot x^b \cdot x^c \cdot x^d \) 的形式對應
因此小於 2000的非負整數情況，可以用生成函數
\( f(x) = (1+x)(1+x+^2+\ldots+x^9)(1+x+x^2+\ldots+x^9)(1+x^2+x^4+x^6+x^8) \)
的展開式中，係數表示 \( a+b+c+d \) 之和為冪次的情況數
\( f(x) = (1+x+^2+\ldots+x^9)^3 \)
令 \( \omega = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \)
則所求為 \( \displaystyle \frac16 \left( f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) + f(\omega^3) + f(\omega^4) + f(\omega^5) \right) -1 +2 \)
其中，減 1 為 0000 不合，加 2 為 2004、2022
所求 \( = \displaystyle \frac16 \left( 10^3 + (\omega+\omega^2)^3 + 1^3 + 0 + 1^3 + (\omega^4+\omega^5)^3 \right) + 1\)
\( = \displaystyle \frac16 \left( 1000 + 1 + 1 \right) + 1 = 168\)
其中 \( \omega^4+\omega^5 = -(\omega+\omega^2) \)，因此 \( (\omega^4+\omega^5)^3 + (\omega+\omega^2)^3 =0 \)
第12題
超過1999的話，數字和驟減，不好控制。所以，我們先看小於等於1999的。跟7樓鋼琴老師一樣。
1999以前6的倍數，依下面的方式分成167組，
{0000,1998},{0006,1992},{0012,1986},…{0996,1002}
上面每一組中的8個數字和皆為27，為奇數。
每組中的兩個數，數字和皆為3的倍數，又數字和為一奇一偶，偶數的那個數，即為數字和為6的倍數。
也就是說167組中，每組恰有一個是我們要的，另一個不是。所以共167個數，但第一組{0000,1998}中0000不是正整數，所以是166個。
超過2000的，一一驗算，只有2004與2022符合所求，
所以答案是166+2=168個。
第貳部份第1題
奇數位和與偶數位和的差最大為(4+5+6+7)-(1+2+3)=16，兩者的差只有可能是-11, 0, 11但由於1+...+7=28，所以兩者的差必為偶數，也就是只有0的可能。
所以奇數位和=偶數位和=14
只有167,257,347,356這四種情況，
所以方法數為\(4\times 3!\times4!=576\)種 請教填充2、6，謝謝～ 想請教第4、5題，謝謝
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