112台南女中
112台南女中 可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝回覆 2# s7908155 的帖子
第 9 題設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？
[解答]
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2，(n + 3)^2，(n + 4)^2，(n + 5)^2，(n + 6)^2
可得 n = 39
第 13 題
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2，更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3，更換 1 次
：
：
所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 第四題
設\(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)，試求\(\displaystyle \omega^2\sum_{k=1}^{96}(-1)^{k+1}k\omega^{k-1}=\)？
[解答] [quote]原帖由 [i]s7908155[/i] 於 2023-4-16 18:31 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24763&ptid=3730][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝 [/quote]
第18題，
平面上有一直線\(L\)，已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6，\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3，\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
令圓C1以A為圓心6為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離
[attach]6593[/attach] [quote]原帖由 [i]Jimmy92888[/i] 於 2023-4-16 20:40 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24768&ptid=3730][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第13題，
令圓C1以A為圓心7為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離
[/quote]
平面上有一直線\(L\)，已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6，\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3，\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
這題應該是#18
(更正)
[color=Red]抱歉~我誤以為您的兩切點為同一點
L的確是C1與C2的公切線
[/color]
但斜的公切線應該比較不好求吧?
可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7
則L:3x-4y+21=0
另一條L:y=9(水平線)
.....
回覆 6# Ellipse 的帖子
連接 A、B、C 三點剛好是以角 A 為直角的直角三角形除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線，利用直角三角形三邊長和子母相似，可很快求出另一個答案 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-16 21:11 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24769&ptid=3730][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題應該是#18
上述這樣的說法應該不對喔,
假設A到L的距離=AP (P為垂足)
假設B到L的距離=AQ (Q為垂足)
那麼P,Q 不會是同一點
可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7 ... [/quote]
[attach]6599[/attach] 13.
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第13題鋼琴老師的方法真的太漂亮了
每次期望值的題目，總是可以看到非常漂亮、抓住期望值核心的手法。
這裡我也分享我自己的作法，可能也是比較多人用的手法
設\(E_n\)為總共發1,2,3,...,n張牌時，換牌次數的期望值，
當n號牌(最大號)排在第k張位置時，不論前面的牌，看牌看到第k張，必定要換牌一次，而且之後就不會再換牌了。
所以當n號牌排在第k張位置時，換牌次數為前k-1張牌換牌次數再+1，
故n號牌排在第k張位置時的換牌次數期望值為\(E_{k-1}+1\)
n號牌排在第k張位置的機率為\(\frac{1}{n}\)，
故\(\displaystyle E_k=\frac{1}{n}\cdot 0+\frac{1}{n}(E_1+1)+\frac{1}{n}(E_2+1)+\frac{1}{n}(E_3+1)+\cdots+\frac{1}{n}(E_{n-1}+1)\)
\(\displaystyle E_1=0、E_2=\frac{1}{2}(E_1+1)=\frac{1}{2}、E_3=\frac{1}{3}(E_1+1)+\frac{1}{3}(E_2+1)=\frac{5}{6}\)
\(E_4=\frac{13}{12}、E_5=\frac{77}{60}、E_6=\frac{522}{360}=\frac{29}{20}\)
提問
懇請老師解惑填充8,10,12
謝謝老師
回覆 10# YangRB 的帖子
第 8 題小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
5 天吃吐司，2^4 * C(5，5)
4 天吃吐司，2^5 * C(6，4)
3 天吃吐司，2^6 * C(7，3)
2 天吃吐司，2^7 * C(8，2)
1 天吃吐司，2^8 * C(9，1)
0 天吃吐司，2^9
加起來
回覆 10# YangRB 的帖子
第 10 題坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
[解答]
令直線 L 的方程式為 y = mx + n
y = x^4 - 3x^2 + 2x + 3 與直線 L 相切於相異兩點
表示 x^4 - 3x^2 + 2x + 3 = mx + n 有兩相異重根
令兩相異重根為 a 和 b
(x - a)^2(x - b)^2 = x^4 - 3x^2 + (2 - m)x + (3 - n)
分別比較兩邊的 x^3、x^2、x 和常數項係數，可得
-2a - 2b = 0
a^2 + 4ab + b^2 = -3
-2a^2b - 2ab^2 = 2 - m
a^2b^2 = 3 - n
化簡可得 m = 2，n = 3/4 填充題
1.
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標分別為\(A(1,0,0)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，而\(C\)城市正好是\(A\)，\(B\)兩個城市之間最短路徑的中點，試求\(C\)城市的坐標為？
假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178[/url])
5.
設\(f(x)=\sqrt{10x-x^2}-\sqrt{16x-x^2-60}\)，求\(f(x)\)的最大值。
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url]
[解答]
\(\sqrt{10x-x^2}\)為圓方程式\((x-5)^2+y^2=25\)的上半圓
\(\sqrt{16x-x^2-60}\)為圓方程式\((x-8)^2+y^2=4\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{6}\)
試求\(f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}\)的最大值？
(1993AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1993_AHSME_Problems/Problem_26[/url])
[解答]
\(\sqrt{8x-x^2}\)為圓方程式\((x-4)^2+y^2=16\)的上半圓
\(\sqrt{14x-x^2-48}\)為圓方程式\((x-7)^2+y^2=1\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{3}\)
9.
設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？
15.
設\(0\le x\le 4\pi\)，試求\(9cos^2x-3sinx-7=0\)的所有根的總和。
設\(0\le x\le 2\pi\)，試問\(tan^2x-9tanx+1=0\)之各根總和為[u] [/u]。
(A)\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) (B)\(\pi\) (C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) (D)\(3\pi\) (E)\(4\pi\)
(1989AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1989_AHSME_Problems/Problem_28[/url])
16.
若\(S_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle T_n=\frac{S_2}{S_2-1}\times \frac{S_3}{S_3-1}\times \frac{S_4}{S_4-1}\times \ldots \times \frac{S_n}{S_n-1}\)，其中\(n=2,3,4,\ldots\)。則\(T_{1998}=\)？
對每個大於1的正整數\(n\)，令\(T_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle P_n=\frac{T_2}{T_2-1}\times \frac{T_3}{T_3-1}\times \ldots \times \frac{T_n}{T_n-1}\)，則\(P_{2003}=\)[u] [/u]。(以最簡分數表示)
(92高中數學能力競賽北區第三區試題二)
計算證明題
1.
設整數\(x,y\)滿足\(logx+logy\)為整數，但\(logx\)、\(logy\)及\(logx^3y^2\)都不是整數，若\(x^3y^2\)是一個6位數，則求所有的整數數對\((x,y)\)。
(103新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-1913-1-1.html[/url])
3.
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{k(k+1)}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}=\)？
(98玉井工商，[url]https://math.pro/db/thread-811-1-1.html[/url])
感謝
謝謝老師回覆 10# YangRB 的帖子
填充12題設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\)，\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點，過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面，將正四面體截成上下兩部分，令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\)，另一部分體積為\(n\)，試求\(\displaystyle \frac{m}{n}=\)？
[解答]
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點
\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線，由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)
\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)
故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比) 請教第7題
回覆 16# enlighten0626 的帖子
第 7 題：圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BD}=2\sqrt{5}\)，且\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)。則\(\overline{AC}=\)？
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，則
\(\displaystyle \vec{AC} = 4\left(\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AB}\right) = 4\vec{AE}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AE}:\overline{EC}=1:3, \overline{BE}:\overline{ED}=3:5\)
由圓的內冪性質， \(\displaystyle \overline{AE}\times\overline{EC}=\overline{BE}\times\overline{ED}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AC}\times\frac{3}{4}\overline{AC} = \frac{3}{8}\overline{BD}\times\frac{5}{8}\overline{DB}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\overline{BD}=5\) 。
回覆 10# YangRB 的帖子
第 8 題：小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
設小南接下來的 \(n\) 天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，
但不連續兩天吃土司的 \(n\) 天早餐安排法有 \(a_n\) 種，則
\(\displaystyle a_1 = 3, a_2 = 8, a_n = 2\times a_{n-1} + 1\times 2\times a_{n-1}, \forall n\geq 3\)，
（說明：若第一天不吃吐司，則第一天有兩種選擇，且剩下\(n-1\)天有\(a_{n-1}\) 種安排法，
若第一天吃吐司，則第一、二天共有 \(1\times2\)種選擇，且剩下 \(n-2\) 天有 \(a_{n-2}\) 種安排法。）
得 \(\displaystyle a_3 = 2\left(a_2+a_1\right) = 22, a_4 = 2\left(a_3+a_2\right) = 60, ..., a_9 = 9136\) 。
註：通解 \(\displaystyle a_n = \frac{3-2\sqrt{3}}{6}\left(1-\sqrt{3}\right)^n+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\left(1+\sqrt{3}\right)^n\)
回覆 17# weiye 的帖子
謝謝老師，一直忘記有內冪性質可以使用 南女的題目會不會出太多題？頁:
[1]
2