112台北市高中聯招
主辦還真是偷懶選擇第三題
請教老師們選擇第三題的答案是多少呢。考試時答案是寫C.謝謝老師幫忙。 填充題解答參考
還請各位不吝指教偵錯(最近計算錯誤超誇張，好險今年不用考試.....)
1. 17
2. 32 (感謝thepiano老師指正)
3.\(\displaystyle 10+\sqrt{26}\)
4.10
5.\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}\) (感謝Joy091老師的指正)
6.4012
7.\(\displaystyle \frac{36}{5}\)
8.\(\displaystyle 112\times 2^{111}\)(感謝thepiano老師指正)
回覆 2# Christina 的帖子
用程式模擬，洗牌5次會逆序，洗牌10次則還原。因此將 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 洗 2023 次的結果跟洗 3 次的結果一樣，
會變成 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3， 也就是洗完牌之後，第10張牌是一開始的第3張牌，
選項中沒有正確答案，應送分。
R 程式碼：
wash=function(x){
y=rep(0,10)
for(i in 1:5)y[ i ]=x[2*i]
for(i in 6:10)y[ i ]=x[2*i-11]
return(y)
}
x=1:10
for(i in 1:2023)x=wash(x)
x
感謝 # cut6997 老師指正，我弄錯題意，
正確的模擬如下，公告的答案無誤。
(還是有洗牌5次逆序，洗牌10次還原的規律)
wash=function(x){
y=rep(0,10)
for(i in 1:5)y[2*i]=x[ i ]
for(i in 6:10)y[2*i-11]=x[ i ]
return(y)
}
x=1:10
for(i in 1:2023)x=wash(x)
x 計算題:
1(1).\(\displaystyle M_t=(400\ cos(\frac{\pi t}{250})+cos(\frac{\pi t}{25}),400\ sin(\frac{\pi t}{250})+sin(\frac{\pi t}{25}))\) (感謝Joy091，acc10033老師指正)
1(2). \(\displaystyle \frac{500}{9}\)
2(1). \(\displaystyle (1+cos\theta \ sin\theta)x^2+(1-cos\theta \ sin\theta)y^2-cos2\theta \ xy =3\)
2(2). \(\displaystyle A=\frac{1}{2} \ B=\frac{1}{6}\)
3(1) .\( (a+2)b\)
3(2) . \(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}\)
4(1).可以理解成P點是在直線L上...嗎，如果是的話
直接架設數線就好，設P點坐標為x，其餘點分別為a,b,c,d
所求為|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，最小值發生在\(x\in [b,c]\)
回覆 3# satsuki931000 的帖子
填充5已知空間一四面體\(ABCD\)，其頂點坐標分別為\(A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,1)\)，則此四面體內切球球心的\(x\)坐標為[u] [/u]。(答案不一定要有理化分母)
[解答]
請參閱
回覆 4# Joy091 的帖子
1 2 3 4 5 6 7 8 9 106 1 7 2 8 3 9 4 10 5
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
7 3 10 6 2 9 5 1 8 "4"
9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案是4應該沒錯
回覆 6# Joy091 的帖子
謝謝您的指正正三角形的邊長忘記是\(\sqrt{2}\)了 [quote]原帖由 [i]BambooLotus[/i] 於 2023-4-15 18:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24719&ptid=3729][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
主辦還真是偷懶 [/quote]
像這種不公布 非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法
回覆 3# satsuki931000 的帖子
填充第 2 題答案應是 32
第 8 題 答案應是 112 * 2^111 計算一的Mt
要考慮到會繞著行星轉吧 計算1
已知一平面上，行星\(E\)以圓形軌道逆時針繞行恆星\(S\)，行星\(E\)的衛星\(M\)以圓形軌道逆時針繞行行星\(E\)。阿宗觀察行星\(E\)繞行恆星\(S\)一圈需時500天，衛星\(M\)繞行行星\(E\)一圈需時50天，試回答下列問題：
(1)若阿宗將恆心\(S\)的位置定為坐標原點\((0,0)\)，對於阿宗而言第0天時行星\(E\)的坐標在\((400,0)\)，衛星\(M\)的坐標在\((401,0)\)。求第\(t\)天時，衛星\(M\)的坐標。
(2)承上題，若\(\angle SEM\)在第0天時第一次等於\(180^{\circ}\)，求下一次\(\angle SEM=180^{\circ}\)時是第幾天。
[解答]
選擇2
選擇2已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
[解答]
答案如附件
貳、非選第3題
已知橢圓\(\Gamma\)的一頂點為\((0,3)\)，\(F_1(-4,0)\)、\(F_2(4,0)\)為其焦點，若點\(A(1,1)\)，\(P\)為\(\Gamma\)上的動點，則\(\overline{PA}+\overline{PF_2}\)的最大值為[u] [/u]。[解答]
設\(R\)為直線\(F_1A\)在第三象限與橢圓的交點，
則\(PF_2+PA\leq PF_2+PF_1+AF_1=RF_2+RF_1+AF_1\)，
所以當\(P=R\)時有最大值\(10+AF_1=10+\sqrt{26}\)
註：若改成第一象限的交點，就變最小值。
貳、非選第6題
設\(n\)為正整數，定義\(n\)的各位數的數字和為\(f(n)\)，例如：\(f(2023)=2+0+2+3=7\)，\(f(135)=1+3+5=9\)，則滿足\(f(n)+n=2023\)的所有正整數\(n\)的和為[u] [/u]。[解答]
因為\(f(n)+n=2023\)，所以\(n<2023\)，
此範圍內\(f(n)\)最大是\(n=1999\)時，所以\(f(n)\leq f(1999)=28\)，
於是\(n\geq 1995\)，接下來只要測試\(n=1995\)到\(2022\)這個範圍的數即可。
\(2000\)到\(2009\)與\(2020\)到\(2022\)為偶數，不可能。
\(1995\)到\(1999\)這段遞增，可知\(1997\)是一解。
\(2010\)到\(2019\)這段遞增，可知\(2015\)是一解。
所以所有解為\(1997+2015=4012\)
貳、非選第8題
\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。
若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為[u] [/u]。
[解答]
所有不包含\(112\)的集合\(X\)，其\(f(X)+f(X∪\{112\})=112\)。
所以只要計算\(112\)出現幾次即可，因此總和為\(112×2^{111}\)。
壹、單選第2
已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
[解答]
亦即求兩圖形\(y=\frac1x\)與\(y=2\sin(\pi x)\)的交點數。
易知在\(x\in(2,3)\)時有兩解，與\(x=\frac12\)時有一解。
又因為\(x=\frac12\)時\(y=\frac1x\)凹向上，\(y=2\sin(\pi x)\)凹向下，所以\(x\in(\frac12,1)\)還會有一解。
共四個解。
註：13樓有畫\(y=\sin(\pi x)\)與\(y=\frac1{2x}\)示意圖。
壹、單選第3
一疊撲克牌共10張，某種洗牌方式如下：洗完一次後，原第6張會變第1張，原第1張變第2張，原第7張變第3張，原第2張變第4張，…依此類推；換句話說，就是原來的第1到10張，會依序移到第\(2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9\)張。若用此種洗牌方式連續洗了2023次後，則第10張牌會是一開始的第幾張牌？(A)第1張 (B)第4張 (C)第6張 (D)第9張
[解答]
每次的洗牌，就是一個排列的函數，依題意
\(\phi=\left(\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&A \\
2&4&6&8&A&1&3&5&7&9
\end{array}\right)=(12485A9736)\)
此為10-cycle，所以10次一循環。
\(\phi^{2023}(x)=10=\phi^3(x)\)所以\(x=4\)(就\(A\)往前數\(3\)個)
我覺得這題很不錯，基本的代數群論，改成易懂的情境。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-15 23:28 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24739&ptid=3729][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
像這種不公布 非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法 [/quote]
不知為什麼主辦不公布答案，
據我所知，出題教授都會給答案。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2023-4-15 23:28 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24739&ptid=3729][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
像這種不公布 非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法 [/quote]
去年臺北市聯招還有公布填充題答案和計算題簡答，今年直接省略
報名費收那麼多，結果數學科有的題目國中生就會做，有些抄得很高興
跟全國聯招比起來，還有很大的進步空間
那些市立前幾志願高中被加入聯招應該很不願意