[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1311174906.A.506.html[/url]
回覆 21# peter0210 的帖子
原來還有這個性質 謝謝老師不足的地方得趕快學起來
想問第3題
想問第3題 [quote]原帖由 [i]sda966101[/i] 於 2023-4-17 09:52 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24779&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想問第3題 [/quote]
(α-β)²+ 4(β-γ)² =0
整理後可知向量α-β 與向量β-γ互相垂直
且|α-β|=4 ,所以|β-γ|=2
所求=4*2/2=4 想問第五題和第六題
第6題請參考
已知方程式\(x^4+x=-1\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\((a^2-3)(b^2-3)(c^2-3)(d^2-3)\)的值為[u] [/u]。[解答]
請參考 第五題用暴力法就不現醜了
回覆 25# s7908155 的帖子
第五題設\(n\in N\)，\(\displaystyle f(n)=\left(\frac{4}{5}\right)^n(n^2+4n)\)，則使\(f(n)\)為最大的\(n\)為[u] [/u]。
[解答]
解 [f(n+1)/f(n)]<1 應該就可以得到n,因為要找到在哪一項開始遞減
第六題
已知方程式\(x^4+x=-1\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\((a^2-3)(b^2-3)(c^2-3)(d^2-3)\)的值為[u] [/u]。
[解答]
令四根為a,b,c,d 再令f(x)=x^4+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
將(a^2-3)=(a+√3)(a-√3) 拆解 其他三個比照辦理
所求即為 f(√3)f(-√3)=(10+√3)(10-√3)=97
回覆 25# s7908155 的帖子
第 5 題設\(n\in N\)，\(\displaystyle f(n)=\left(\frac{4}{5}\right)^n(n^2+4n)\)，則使\(f(n)\)為最大的\(n\)為[u] [/u]。
[提示]
f(n) > f(n + 1) 且 f(n) > f(n - 1)
回覆 5# Ellipse 的帖子
請問這是用到什麼樣的數學概念？ 14題設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
第15題
[quote]原帖由 [i]g112[/i] 於 2023-4-15 18:39 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24720&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請問14和15 謝謝各位老師 [/quote]
15.
設\(\displaystyle A=\sum_{k=1000}^{3375}\frac{1}{\root 3\of{k}}\)，則\(A\)四捨五入至小數點後第一位的近似值為[u] [/u]。
[解答]
15題是大學微積分的，像integral test的證明的方法。
因為\(\displaystyle\frac1{\sqrt[3]{x}}\)為遞減函數
所以\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{15}<A<\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{10}\)
其中積分\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx=187.5\)
因此
上界：\(187.5+\frac1{10}=187.6\)。
下界：\(187.5+\frac1{15}>187.5666\)
所以答案為\(187.6\)。 [quote]原帖由 [i]enlighten0626[/i] 於 2023-4-19 22:36 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24809&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問這是用到什麼樣的數學概念？ [/quote]
用黎曼和積分與上矩形,下矩形面積和的大小不等式比較,來估計所求範圍
那個上矩形,下矩形面積和,我有設計過都可以用手算出來
只不過有點懶,直接用Mathematica算
回覆 20# anyway13 的帖子
我也對這個很困惑，不過幸運的在網路上找到解釋了，分享一下[url]https://zhuanlan.zhihu.com/p/585883053[/url] 分享一下第六題
[attach]6676[/attach]
分享一下第十題
設四面體\(O-ABC\)，底面為邊長12的正三角形\(\Delta ABC\)，且\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)，令\(O\)在\(\Delta ABC\)的投影點為\(H\)，\(\overline{OH}=6\)，又\(A\)在側面\(\Delta OBC\)的投影點為\(K\)，於\(\overline{AK}\)上取一點\(P\)，使得\(\overline{AP}:\overline{PK}=5:1\)。若過\(P\)點有一平面\(E\)與底面\(\Delta ABC\)平行，則平面\(E\)與四面體\(O-ABC\)所截圖形之面積為[u] [/u]。[解答]
架設坐標
\(B=(0,0,0)\)、\(C=(12,0,0)\)、\(A=(6,6\sqrt{3} ,0)\)
因為\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} \)
能有\(H=(6,2\sqrt{3},0) \)
又 \(\overline{OH}=6\)，得\(O=(6,2\sqrt{3},6)\)
平面\( \bigtriangleup ABC \)：\( 3y-\sqrt{3}z=0 \)
利用投影點公式，得\( K=(6,{\large\frac{3\sqrt{3} }{2}} ,{\large\frac{9}{2}}) \)
\(\overline{AP}：\overline{PK}=5：1 \)利用內分點公式，找到\(P=(6,{\large\frac{9\sqrt{3} }{4}} ,{\large\frac{15}{4}}) \)
由於點P到\( xy \)平面的高度為\({\large\frac{15}{4}} \)
所以點O到所求所截出來的面的高度為\({\large\frac{9}{4}} \)
\(\Rightarrow {\large\frac{9}{4}} \)：\(\overline{OH} \)＝\( 3 \)：\( 8 \)
因此所求的截面積與底面\( \bigtriangleup ABC \)的比為
\(邊長^{2}比＝面積比 \)
\(3^{2}：8^{2}＝所求截面積：36\sqrt{3} \)
所求截面積＝\( \Large\frac{81\sqrt{3}}{16} \) 請教填充第九題
回覆 36# royan0837 的帖子
填充 9.\([x]\)定義為小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2023}}{3}\right]\)的個位數字為[u] [/u]。
[解答]
注意到 \( n \in \mathbb N \cup \{ 0 \} \) 時，
\( 2^{2n} \equiv 1 \) (mod 3), \( 2^{2n+1} \equiv 2 \) (mod 3)
故有 \( \displaystyle \left[\frac{1}{3}\right] + \left[\frac{2}{3}\right] + \left[\frac{2^2}{3}\right] + \cdots \left[\frac{2^{2023}}{3}\right] = \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{2023} - 1012 - 1012 \cdot 2}{3} = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)
令 \( \displaystyle A = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)
則 \( 3A = 2^{2024} - 3037 \equiv 2^4 -3037 \equiv 6 - 3037 \equiv 9 \) (mod 10)
( \( 2^n \) 模 10，每四項一個循環)
\( \Rightarrow A \equiv 21A = 7 \cdot 3A \equiv 7 \cdot 9 = 63 \equiv 3 \) (mod 10)
故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。 請問第八題除了三角函數+拉格朗日算子求極值外有沒有其他更簡潔的方法?
頁:
1
[2]