112台中一中
112台中一中教甄數學科試題及答案 第11題設方程式\(x^3-4x+1=0\)的三個相異複數根為\(a,b,c\)，則\(\displaystyle \frac{a+1}{(a-1)^4}+\frac{b+1}{(b-1)^4}+\frac{c+1}{(c-1)^4}\)之值為[u] [/u]。
[解答] 想請問14和15 謝謝各位老師 第14題
設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
抱歉 最後一行筆誤
應為3(PA線段-PC線段)>=3*-AC線段 [quote]原帖由 [i]g112[/i] 於 2023-4-15 18:39 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24720&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問14和15 謝謝各位老師 [/quote]
#15
設\(\displaystyle A=\sum_{k=1000}^{3375}\frac{1}{\root 3\of{k}}\)，則\(A\)四捨五入至小數點後第一位的近似值為[u] [/u]。
[解答]
由範圍解可知所求
A 四捨五入至小數點後第一位的近似值為187.6
請問第2題
版上老師好請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來 實在弄太久了 [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2023-4-15 20:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24724&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
版上老師好
請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來 實在弄太久了 [/quote]
2.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=6\cr \beta^3-6\beta^2+13\beta=14}\)，則\(\alpha+\beta\)的值為[u] [/u]。
[解答]
先把兩個都換成x-2的多項式
(a-2)^3+(a-2)+4=0
(b-2)^3+(b-2)-4=0
再兩個相加就差不多出來了 [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2023-4-15 20:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24724&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
版上老師好
請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來 實在弄太久了 [/quote]
2.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=6\cr \beta^3-6\beta^2+13\beta=14}\)，則\(\alpha+\beta\)的值為[u] [/u]。
[解答]
令f(x)=(x-2)^3+(x-2)+10
f(x)的反曲點為(2,10)
且(α,6)與(β,14)對稱於(2,10)
所以α+β =2*2=4 第7題
將2023個點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\ldots\)、\(P_{2023}\)依序排在一直線上，並使得\(P_k\)與\(P_{k+1}\)兩點的距離為\(\displaystyle \frac{1}{k}\)，其中\(k=1,2,3,\ldots,2022\)，則從這2023個點中，任取兩點的所有距離總和為[u] [/u]。
[解答]
回覆 4# peter0210 的帖子
老師可以麻煩請您再講詳細一點嗎? 請問為什麼知道2PB=3PC還有最後一個式子3PA-2PB=3(PA-PB)好像不相等ㄟ 可是您的答案對的
感謝g112和Ellipse老師
謝謝兩位老師 了解了 第12題設\(a\)為正整數，且使得方程式\(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}=a\)有實數解，則所有\(a\)之總和為[u] [/u]。
[解答]
回覆 3# g112 的帖子
第 14 題設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
OP = 2√13，OB = 3√13
在圓內找一點 C，使 △POB 和 △COP 相似
PC = (2/3)PB
-AC ≦ PA - PC ≦ AC
在 OB 上取一點 C，使 OC = (2/3)OP = (4/9)OB，易知 C(-4，8/3)
再取直線 AC 與圓在第一象限的交點為 P
此時 3PA - 2PB = 3[PA - (2/3)PB] = 3(PA - PC) = -3AC = -5√13 為最小值
回覆 2# peter0210 的帖子
老師您好，想請問11題倒數第二步的f'(t)/f(t)如何得到後面結果?我只會用根與系數再藉由餘式定理求得 第13題
設\(F_1\)、\(F_2\)為雙曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)之兩焦點，\(F_1\)在\(F_2\)之左側，\(P\)在雙曲線\(\Gamma\)上，且\(P\)、\(F_1\)、\(F_2\)不共線。若\(G\)、\(I\)分別為\(\Delta PF_1F_2\)之重心與內心，且直線\(\overline{GI}\)垂直\(x\)軸，則\(\Delta PF_1F_2\)的內切圓半徑為[u] [/u]。 這想法主要是找看看是否存在這樣的C點使原本那個圓上的任意P點都滿足2PB=3PC，
(使原本的圓與滿足2PB=3PC的P點形成的阿波羅尼斯圓是同一個，這需要數據配合才能做到)
若存在這樣的C點，把它找到之後就可以把倍數轉換成一樣(3倍)，
而一樣倍數(3倍)提出後形成兩線段(PA與PC)之差，
由三角不等式可得最大或最小值。
而這類題目都會設計成存在這樣的C點。
[quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2023-4-15 21:35 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24728&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師可以麻煩請您再講詳細一點嗎? 請問為什麼知道2PB=3PC
還有最後一個式子3PA-2PB=3(PA-PB)好像不相等ㄟ 可是您的答案對的 [/quote] 第8題
有一四角錐\(A-BCDE\)，底面\(BCDE\)為正方形，且\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{AE}\)，若四角錐\(A-BCDE\)的表面積總和為96平方單位，則四角錐\(A-BCDE\)的體積最大值為[u] [/u]立方單位。
[解答] 查詢"牛頓恆等式 長除法"
[url]https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%89%9B%E9%A0%93%E6%81%86%E7%AD%89%E5%BC%8F[/url]
在推證k階牛頓恆等式(k小於等於n)的過程中，所使用的一個方法技巧。
[quote]原帖由 [i]cut6997[/i] 於 2023-4-15 22:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24734&ptid=3728][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師您好，想請問11題倒數第二步的f'(t)/f(t)如何得到後面結果?
我只會用根與系數再藉由餘式定理求得 [/quote]
回覆 16# farmer 的帖子
謝謝farmer老師的熱心補充回覆 15# peter0210 的帖子
請問老師一下 為什麼 s/3=a 呢? 程度有差 可否進一步協助說明頁:
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