回覆 21# Jimmy92888 的帖子
感謝Jimmy92888老師的解法 小弟亂七八糟的解法就先撤下來了[[i] 本帖最後由 anyway13 於 2023-4-9 22:10 編輯 [/i]] 第15題
回覆 20# Jimmy92888 的帖子
謝謝老師!沿用老師您的數據
我再提供一個寫法
[[i] 本帖最後由 yosong 於 2023-4-9 22:13 編輯 [/i]] 14是很有趣的一題
所求\(=[\vec{c}\times(-10\vec{a})+\vec{c}\times(7\vec{b})+\vec{c}\times(3\vec{c})]\cdot\vec{a}\) \([\vec{c}\times(-10\vec{a})]\perp\vec{a}\)
\(=0+7(\vec{c}\times\vec{b})\cdot\vec{a}+\vec{0}\cdot\vec{a}=7(\vec{c}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=7(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\vec{c}=7(\vec{b}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=-7|\vec{a}\times\vec{b}|^2=-7\times289=-2023\)，剛好變成年份
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2023-4-9 23:13 編輯 [/i]] 第三題 如誤請指正 紀錄一下，進複試標準：44分 18題
沒有習慣的電腦可用，思緒有點亂，先丟上來拋磚引玉。
不過考場上還沒寫到這題，今天想了一個小時多忽然迸出的想法。
再看看有沒有老師有其他做法
－－
4/11 13:10 修正錯字與敘述
4/11 17:11 補上pdf
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-11 17:12 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]5pn3gp6[/i] 於 2023-4-10 22:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24699&ptid=3727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
18題
沒有習慣的電腦可用，思緒有點亂，先丟上來拋磚引玉。
不過考場上還沒寫到這題，今天想了一個小時多忽然迸出的想法。
再看看有沒有老師有其他做法
－－
4/11 13:10 修正錯字與敘述 ... [/quote]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2023-4-11 14:23 編輯 [/i]] 各位老師好，這是朋友提供的第18提做法，
他說花了五個小時想的...再請指教有無錯誤。
[attach]6566[/attach]
[[i] 本帖最後由 q1214951 於 2023-4-11 15:20 編輯 [/i]] 想請教一下第6題應該從哪個方向切入呢? 也想請教各位老師，關於17題除了估計，是否有嚴謹的做法說明是1.5
回覆 30# lovejade 的帖子
第 6 題\(\begin{align}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \\
& \\
& \overline{AD}=d \\
& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}+2{{d}^{2}} \\
& {{d}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{1}{2}{{a}^{2}}}{2} \\
& =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \right)}{2} \\
& =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc\cos A}{4} \\
& \\
& {{\left( \Delta ABC \right)}^{2}}=4{{\left( \Delta ADC \right)}^{2}} \\
& \frac{1}{4}{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A=4{{\left( \frac{1}{4}ad\sin \angle ADC \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}{{d}^{2}}{{\sin }^{2}}\angle ADC \\
& {{\sin }^{2}}\angle ADC=\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{{{a}^{2}}{{d}^{2}}} \\
& =\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \right)\left( \frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc\cos A}{4} \right)} \\
& =\frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A} \\
& =\frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A}\quad \left( 0\le {{\cos }^{2}}A<1\ ,\ {{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\ge 4{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right) \\
& \le \frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}} \\
& \\
& \sin \angle ADC\le \frac{2bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-11 18:13 編輯 [/i]]
回覆 32# thepiano 的帖子
謝謝老師指點! 第15題 提供另一個作法當年被105武陵慘虐之後，看到Math Pro的高手用這招，就一直熟記在心。 17. 令 \[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} } = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} } < \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}\]
又由 GM \(\geq\) HM
\[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} } \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{\left( {k + 1} \right)}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1}}{{\left( {k + 1} \right)}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} \]
因此 \[\frac{3}{2} - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} }}{n} < \frac{S}{n} - \frac{n}{2} < \frac{3}{2}\]
令 \[{H_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} \] ，由Stolz-Cesaro Theorem，
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{H_{n + 1}} - {H_n}}}{{\left( {n + 1} \right) - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 2}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{H_n}}}{n} = 0\]
所以\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{2} - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} }}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\] ，由夾擠定理，
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{S}{n} - \frac{n}{2} = \frac{3}{2}\]
[[i] 本帖最後由 ouchbgb 於 2023-4-14 13:21 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]ouchbgb[/i] 於 2023-4-12 15:33 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24708&ptid=3727][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
17. 令 \[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} } = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} } < \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)} = \frac{{n ... [/quote]
紅色處的不等式方向應是相反 謝謝指正, 抱歉.
18題
想了很久，不知道這樣的寫法對不對 8題代入幾項觀察可發現a1=1,a2=2,a4=3,a11=5....
數列1,2,4,7,11...猜測第k項為1+(1+2+...+k-1)=1+k(k-1)/2
令m=1+k(k-1)/2代入am可得am=k故得證
考試我是這樣寫，不確定有沒有給分
15題
設duece時最後假獲勝機率為P
則P=0.6*0.6+0.6*0.4P+0.4*0.6P (接下來兩局的所有可能情形)
可得P=9/13
所求為0.6P=27/65
[[i] 本帖最後由 no40508888 於 2023-4-13 11:50 編輯 [/i]] 想請問第16題
我算出來x＝500*(4/3)^1000
不知是否正確