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任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

Jimmy92888 發表於 2022-6-18 17:23

111臺中女中

學校公告的試題與解答

bugmens 發表於 2022-6-18 17:52

2.
\(\Delta ABC\)中,令\(\overline{BC}=a\),\(\overline{AC}=b\),\(\overline{AB}=c\)。若\(a,b,c\)成等差,試求\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)之值。

\(\Delta ABC\)中,\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\),若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差數列,則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=\)[u]   [/u]。
(105鳳山高中,[url]https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html[/url])

16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=\)[u]   [/u]。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]

5pn3gp6 發表於 2022-6-18 22:36

計算3
考慮一系列方程式\(x-1=0\)、\(x^2-x-1=0\)、\(x^3-x^2-x-1=0\)、\(\ldots\)、\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)、\(\ldots\),若已知:對任意正整數\(k\),方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)都恰有一個正實根。
(1)設方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)的唯一正實根為\(\alpha_k\)(\(k\)為任意正整數),試證:無窮數列\(\langle\;\alpha_k\rangle\;\)為收斂數列。
(2)試證\(\displaystyle \lim_{k\to \infty}\alpha_k=2\)。
[解答]
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。


\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減,在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)

注意到當k>1時,
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)

因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\),\(f_k(x)=0\)恰有一根,即為1。

同時,因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\),\(f_k(x)=0\)恰有一根,此根必為\(\alpha_k\),且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限,即可得極限值為2。

peter0210 發表於 2022-6-19 10:33

計算一
\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(E\)在\(\overline{AD}\)上,若\(\angle BED=2\angle CED=\angle A\),求證:\(\overline{BD}=2\overline{CD}\)。
[解答]

Superconan 發表於 2022-6-19 17:10

填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後,得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力,想請問有沒有漂亮一點的方法?

PDEMAN 發表於 2022-6-19 17:31

回覆 5# Superconan 的帖子

填充6.
已知\(ABCD\)為圓內接四邊形,且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=3\)、\(\overline{CD}=4\)、\(\overline{AD}=4\),若\(\vec{AC}=x\vec{AB}+y\vec{AD}\),則\(x-y\)之值為[u]   [/u]。
[解答]
令\(E\)為線段\(BD\)和\(AC\)的交點
由 線段\(AE\):線段\(CE\)\(=2\times 4:3\times 4=2:3\)
線段\(BE\):線段\(DE\)\(=2\times 3:4\times 4=3:8\)
推得向量\(AE=\frac{3}{11}\)向量\(AE+\frac{8}{11}\)向量\(AB\)和向量\(AE=\frac{2}{5}\)向量\(AC\)
向量\(AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)\)
最後整理一下即可算出

Superconan 發表於 2022-6-19 19:07

填充第 11 題
一圓周上有六個等分點按順時針順序依次記為\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)。考慮如下遊戲:開始時將一石子放在出發點\(A\),令投擲一骰子,若擲出偶數點,則石子順時針前進兩個等分點;若出現奇數點,則石子順時針前進一個等分點。當石子恰好停在\(A\)點時,則遊戲結束。試問遊戲結束時,石子恰繞圓兩圈的機率為[u]   [/u]。

請問這樣算,錯在哪?

[attach]6421[/attach]

PDEMAN 發表於 2022-6-19 19:18

回覆 7# Superconan 的帖子

您第一圈有包含踩到A點就結束了。
要考慮先採到F點,跨過A點踩到B點回到A點,
所以方法數為\((C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}\)

Superconan 發表於 2022-6-19 21:54

填充第 15 題
設\(x,y,z\)為實數,且滿足\(\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le  y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}\)。當\((x,y,z)=(p,q,r)\)時,\(2x-3y-8z\)有最大值為\(m\),則序組\((p,q,r,m)=\)[u]   [/u]。

請問這樣算,有辦法求 p, q, r 嗎?

[attach]6422[/attach]

PDEMAN 發表於 2022-6-19 22:02

回覆 9# Superconan 的帖子

您不是求出來了嗎?
當有最大值時,\(x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4\)解出來就可以了!

Superconan 發表於 2022-6-19 23:33

回覆 10# PDEMAN 的帖子

啊,太白癡了,感謝。
那請問這題還有別的方法嗎?

Superconan 發表於 2022-6-20 10:14

供考生參考
[attach]6423[/attach]

Gary 發表於 2022-6-23 16:02

想問一下第17題謝謝

PDEMAN 發表於 2022-6-23 18:34

回覆 13# Gary 的帖子

填充17.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數且\(a+b^2+c^4=28\),\(abc=64\),則\(a+b+c=\)[u]   [/u]。
[解答]
由算幾不等式知\(\displaystyle \frac{8\frac{a}{8}+4\frac{b^2}{4}+2\frac{c^4}{2}}{14}\geq  \sqrt[14]{\frac{a^8 b^8 c^8}{2^{34}}}\)
剛好會等號成立得\(\displaystyle \frac{a}{8}=\frac{b^2}{4}=\frac{c^4}{2}\)
再帶回題目即可求出

anyway13 發表於 2022-7-5 00:56

請教填充4

板上老師好   請問第四題的柯西不等式要怎麼˙算呢?

應該是想問說  P點到點到AD 、 DH 、CD三邊的距離  不是各個(EX:平面HCD)平面上的高

求指點關係式?

PDEMAN 發表於 2022-7-5 07:24

回覆 15# anyway13 的帖子

填充4.
在長方體\(ABCD-EFGH\)中,\(P\)點為\(ACH\)平面上的一點,若\(\overline{AD}=12\)、\(\overline{DH}=6\)、\(\overline{CD}=6\),設\(P\)點到\(\overline{AD}\)、\(\overline{DH}\)、\(\overline{CD}\)三邊的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\),則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2\)的最小值為[u]   [/u]。
[解答]
由題目可知半平面\(ACP\)為\(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\)。
令\(p(x,y,z)\) 則\(d_1=\sqrt{y^2+z^2},d_2=\sqrt{x^2+y^2},d_3=\sqrt{x^2+z^2}\)
這時就可用柯西,
\((d_1^2+d_2^2+d_3^2)(\frac{1}{2}+2+2)\geq(x+2y+2z)^2 \Rightarrow d_1^2+d_2^2+d_2^2\geq 32\)
當\(\frac{\sqrt{2}x}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}z}{\sqrt{2}}\)時,有最小值。

anyway13 發表於 2022-7-5 17:16

回覆 16# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師詳細解說

enlighten0626 發表於 2022-7-29 12:14

回覆 4# peter0210 的帖子

請問角ABE=角CAE是題目少給的條件還是應該要如何推論出來?

Lopez 發表於 2022-7-30 00:39

回覆 18# enlighten0626 的帖子

∠ABE + ∠BAE = ∠BED = ∠A = ∠CAE + ∠BAE
因此 ∠ABE=∠CAE

enlighten0626 發表於 2022-8-1 11:12

回覆 19# Lopez 的帖子

謝謝老師解惑

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