111臺中女中
學校公告的試題與解答 2.\(\Delta ABC\)中，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{AC}=b\)，\(\overline{AB}=c\)。若\(a,b,c\)成等差，試求\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)之值。
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=\)[u] [/u]。
(105鳳山高中，[url]https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html[/url])
16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=\)[u] [/u]。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url] 計算3
考慮一系列方程式\(x-1=0\)、\(x^2-x-1=0\)、\(x^3-x^2-x-1=0\)、\(\ldots\)、\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)、\(\ldots\)，若已知：對任意正整數\(k\)，方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)都恰有一個正實根。
(1)設方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)的唯一正實根為\(\alpha_k\)(\(k\)為任意正整數)，試證：無窮數列\(\langle\;\alpha_k\rangle\;\)為收斂數列。
(2)試證\(\displaystyle \lim_{k\to \infty}\alpha_k=2\)。
[解答]
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。
設
\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減，在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)
注意到當k>1時，
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)
因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，即為1。
同時，因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，此根必為\(\alpha_k\)，且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限，即可得極限值為2。 計算一
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(E\)在\(\overline{AD}\)上，若\(\angle BED=2\angle CED=\angle A\)，求證：\(\overline{BD}=2\overline{CD}\)。
[解答] 填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後，得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力，想請問有沒有漂亮一點的方法？
回覆 5# Superconan 的帖子
填充6.已知\(ABCD\)為圓內接四邊形，且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=3\)、\(\overline{CD}=4\)、\(\overline{AD}=4\)，若\(\vec{AC}=x\vec{AB}+y\vec{AD}\)，則\(x-y\)之值為[u] [/u]。
[解答]
令\(E\)為線段\(BD\)和\(AC\)的交點
由 線段\(AE\):線段\(CE\)\(=2\times 4:3\times 4=2:3\)
線段\(BE\):線段\(DE\)\(=2\times 3:4\times 4=3:8\)
推得向量\(AE=\frac{3}{11}\)向量\(AE+\frac{8}{11}\)向量\(AB\)和向量\(AE=\frac{2}{5}\)向量\(AC\)
向量\(AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)\)
最後整理一下即可算出 填充第 11 題
一圓周上有六個等分點按順時針順序依次記為\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)。考慮如下遊戲：開始時將一石子放在出發點\(A\)，令投擲一骰子，若擲出偶數點，則石子順時針前進兩個等分點；若出現奇數點，則石子順時針前進一個等分點。當石子恰好停在\(A\)點時，則遊戲結束。試問遊戲結束時，石子恰繞圓兩圈的機率為[u] [/u]。
請問這樣算，錯在哪？
[attach]6421[/attach]
回覆 7# Superconan 的帖子
您第一圈有包含踩到A點就結束了。要考慮先採到F點，跨過A點踩到B點回到A點，
所以方法數為\((C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}\) 填充第 15 題
設\(x,y,z\)為實數，且滿足\(\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}\)。當\((x,y,z)=(p,q,r)\)時，\(2x-3y-8z\)有最大值為\(m\)，則序組\((p,q,r,m)=\)[u] [/u]。
請問這樣算，有辦法求 p, q, r 嗎？
[attach]6422[/attach]
回覆 9# Superconan 的帖子
您不是求出來了嗎?當有最大值時，\(x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4\)解出來就可以了!
回覆 10# PDEMAN 的帖子
啊，太白癡了，感謝。那請問這題還有別的方法嗎？ 供考生參考
[attach]6423[/attach]
想問一下第17題謝謝
回覆 13# Gary 的帖子
填充17.設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數且\(a+b^2+c^4=28\)，\(abc=64\)，則\(a+b+c=\)[u] [/u]。
[解答]
由算幾不等式知\(\displaystyle \frac{8\frac{a}{8}+4\frac{b^2}{4}+2\frac{c^4}{2}}{14}\geq \sqrt[14]{\frac{a^8 b^8 c^8}{2^{34}}}\)
剛好會等號成立得\(\displaystyle \frac{a}{8}=\frac{b^2}{4}=\frac{c^4}{2}\)
再帶回題目即可求出
請教填充4
板上老師好 請問第四題的柯西不等式要怎麼˙算呢?應該是想問說 P點到點到AD 、 DH 、CD三邊的距離 不是各個(EX:平面HCD)平面上的高
求指點關係式?
回覆 15# anyway13 的帖子
填充4.在長方體\(ABCD-EFGH\)中，\(P\)點為\(ACH\)平面上的一點，若\(\overline{AD}=12\)、\(\overline{DH}=6\)、\(\overline{CD}=6\)，設\(P\)點到\(\overline{AD}\)、\(\overline{DH}\)、\(\overline{CD}\)三邊的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2\)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
由題目可知半平面\(ACP\)為\(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\)。
令\(p(x,y,z)\) 則\(d_1=\sqrt{y^2+z^2},d_2=\sqrt{x^2+y^2},d_3=\sqrt{x^2+z^2}\)
這時就可用柯西，
\((d_1^2+d_2^2+d_3^2)(\frac{1}{2}+2+2)\geq(x+2y+2z)^2 \Rightarrow d_1^2+d_2^2+d_2^2\geq 32\)
當\(\frac{\sqrt{2}x}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}z}{\sqrt{2}}\)時，有最小值。
回覆 16# PDEMAN 的帖子
謝謝PDEMAN老師詳細解說回覆 4# peter0210 的帖子
請問角ＡＢＥ＝角ＣＡＥ是題目少給的條件還是應該要如何推論出來？回覆 18# enlighten0626 的帖子
∠ABE + ∠BAE = ∠BED = ∠A = ∠CAE + ∠BAE因此 ∠ABE=∠CAE
回覆 19# Lopez 的帖子
謝謝老師解惑頁:
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