111彰化女中
請參考附件，冰淇淋又出現了 ......111.6.3補充
公告更正本校111學年第2次教甄初試數學科填充題第13題答案
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公告第2次更正國立彰化女中111學年第2次教甄初試數學科填充題第2題答案及第9題送分
連結已失效h ttps://www.chgsh.chc.edu.tw/2022/06/03/%e5%85%ac%e5%91%8a%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%9b%b4%e6%ad%a3%e5%9c%8b%e7%ab%8b%e5%bd%b0%e5%8c%96%e5%a5%b3%e4%b8%ad111%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%95%99%e7%94%84%e5%88%9d%e8%a9%a6%e6%95%b8/ 填充3
設正整數\(x,y\)滿足\(\sqrt{x}+\sqrt{2022}=\sqrt{xy+2022}\)，試求數對\((x,y)=\)[u] [/u]。(有兩組數對)
[解答] 填充題
1.
某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 500 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有[u] [/u]種方法。
某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 100 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法？
(1)101 (2)105 (3)115 (4)120 (5)225
(111學測，[url]https://math.pro/db/thread-3606-1-1.html[/url])
6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\ldots+\frac{(n+2)}{n!+(n+1)!+(n+2)!}\right]=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
7.
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC=\)[u] [/u]。
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC\)的度數為[u] [/u]度。
(106新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2770&page=1#pid17257[/url])
連結有解答
14.
給定四次多項函數為\(f(x)=x^4-4x^3+10\)，求與\(y=f(x)\)恰有兩個相異切點直線方程式(如下圖虛線所示)為[u] [/u]。
計算證明題
1.
\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。
試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824[/url])
回覆 1# thepiano 的帖子
填充2.彰化女中籃球校隊想招收隊員，某參加甄選的學生聲稱自身的投籃命中率\(p\ge 0.4\)，校方想透過檢定的方式來決定她的聲稱是否採信。假設「此學生的投籃命中率\(p\ge 0.4\)」且「投籃直到第一次進球共需\(X\)次」，在顯著水準為0.05的條件之下，求隨機變數\(X\)的拒絕域為[u] [/u]。(\(log2\approx 0.3010\)，\(log3\approx 0.4771\))
[解答]
合理性檢定，相關內容可參考龍騰第六冊(數甲下)單元02，或者估狗"假設檢定"找到更詳細的說明。
我覺得我的算法是對的，可是跟答案差了一點，來請各路高手幫忙檢視一下。
假設該生命中率\( p\) 就是\( 0.4\)，\(X\)為投籃到第一次進球總共所需次數，因\(X\)服從幾何分配，故
\( \displaystyle P(X=k)=0.6^{k-1}\times0.4 \)，因顯著水準訂為0.05，是故k的最小值應滿足
\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 且 \( \displaystyle P(X=k-1) + \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) \geq 0.05 \)
由\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 可得 \( \displaystyle 0.4\times(0.6^{k-1}+0.6^k+0.6^{k+1} + \dots )<0.05 \)
化簡得\( 0.05 > 0.6^{k-1} \)，借助常用對數可得 \( k > 6.8... \)，因此拒絕域為 \( X \geq 7 \)。
回家後以EXCEL求值確認 \( P(X=6)+P(X=7)+...=0.07776 \) 而 \( P(X=7)+P(X=8)+...=0.046656\)。
有沒有可能題目的\( X \)，所代表的是直到投進第一次前，投球沒進的次數？
而後面的填充13，題目也沒講清楚 a>b 還是b>a，雖然我們熟悉的設定都是長軸2a，但還是覺得出題時可以定義的更清楚。
回覆 3# bugmens 的帖子
計算1.\( \pi^e \)和\( e^\pi \)誰比較大？
可參考以下影片 ： [url]https://www.youtube.com/watch?v=SPHD7zmLVa8[/url]
另外影片下方留言區有強者網友提供更簡潔的方法
考慮\( e^x\)的泰勒展開式\(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...\)，故\(\displaystyle e^x>1+x\)
令\( x=\frac{\pi}{e}-1\)，則 \( e^{\frac{\pi}{e}} \times e^{-1}> \pi \times e^{-1} \) 故 \(\displaystyle e^{\frac{\pi}{e}}>\pi \)
兩邊同時\(e\)次方，得\( e^\pi > \pi^e \)。 計算1.
e^π和π^e誰比較大？
也可參考以下影片：[url=https://youtu.be/mZguXn1XubQ]https://youtu.be/mZguXn1XubQ[/url]
猜測出題老師的靈感來自這邊 計算3.
已知\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9}\)，求\(|\;2-\omega|\;^2+|\;2-\omega^2|\;^2+\ldots+|\;2-\omega^8|\;^2\)。
[解答] 原來還可以A多走一次，但還少一種，再請教各位老師
回覆 8# peter0210 的帖子
填充5如圖所示，\(A\)、\(B\)兩人面對面，中間有十個間隔，行進時\(A\)只能向右1或2格，\(B\)只能向左1或2格。\(A\)、\(B\)兩人輪流行動，\(A\)先動。若兩人停在同一格，這遊戲提前結束。問遊戲提前結束的方法有幾種？[u] [/u]。
A□□□□□□□□□□B
[提示]
104師大附中，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2226]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2226[/url] 想請教填充4、填充9，謝謝。
回覆 10# koeagle 的帖子
填充9彰女公告送分了回覆 8# peter0210 的帖子
填充第 5 題您還少了 A8B3
回覆 10# koeagle 的帖子
填充第 4 題\(n\)是不超過1000的正整數，且\(\displaystyle \frac{n+4}{n^2+7}\)為最簡分數，問\(n\)有多少個可能值？[u] [/u]。
[解答]
(n + 4) / (n^2 + 7)
= (n + 4) / (n^2 - 16 + 23)
= (n + 4) / [(n + 4)(n - 4) + 23]
當 n + 4 是 23 的倍數，它就可以約分
5 ~ 1004 有 43 個 23 的倍數
所求 = 1000 - 43 = 957
回覆 13# thepiano 的帖子
謝謝 thepiano 老師！ 11. 考場沒做出來，回去後才想到....OPAB是一個圓內接四邊形，假設正方形的邊長為\(2a\)
則有\(\displaystyle \overline{OB}=\sqrt{2}a,\overline{AB}=2a, \overline{PB}=\sqrt{4a^2-8}\)
由托勒密定理得到\(\displaystyle a^2=\frac{29}{2}\)
則所求\(\displaystyle \overline{PB}=\sqrt{58-8}=5\sqrt{2}\) 15.
空間中有一個邊長為6的正四面體\(OABC\)，平面\(ABC\)上一點\(P\)滿足\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{6}\vec{OC}\)。若通過\(P\)點且相異於平面\(ABC\)的另一平面分別與射線\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)交於\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，求此平面與\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)三射線圍出四面體\(OA'B'C'\)中體積的最小值為[u] [/u]。
[解答]
第一眼被嚇到，但後來發現還好
假設平面E交\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)於\(A',B',C\)
且設\(\displaystyle \overline{OA'}=x\overline{OA} , \overline{OB'}=y\overline{OB} , \overline{OC'}=z\overline{OC}\)
由P點落在\(A'B'C'\)平面上可知\(\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=6\)
求\(xyz\)的最小值，由算幾不等式易求得\(xyz \geq \displaystyle \frac{3}{4}\)
因此所求體積\(V'\)為原本的體積\(V\)的\(\displaystyle \frac{3}{4}\)倍
得\(\displaystyle V'=\frac{3}{4}\cdot 18\sqrt{2}=\frac{27\sqrt{2}}{2}\)
剛剛發現的偷吃步方法
坐標化求P點，在\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)取\(A',B',C'\)
讓\(\displaystyle \triangle{A'B'C'}\)的重心為P
此時圍出的四面體\(O-A'B'C'\)即為所求的最小體積四面體
想請教一下計算2 完全沒想法
[quote]原帖由 [i]PDEMAN[/i] 於 2022-6-4 12:22 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24242&ptid=3649][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]\(OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1\)
再利用柯西
\(((a_1)^2+\cdots+(a_{2022})^2)(2022)\geq (a_1+\cdots+a_{2022})^2\)
推得 \(a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1\)
最後可得所求是1 [/quote]
想問這裡推得 \(OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1\) 會不會太快了？
畢竟題目是說\(P_1,P_2,\cdots\)在圓盤上
不過主軸是用柯西沒錯
先由\(OP_1,OP_2,\cdots,OP_{2022}\leq1\)
得知
\(a_1\cdot 1+a_2 \cdot 1+\cdots+a_{2022}\cdot 1 \geq a_1\cdot OP_1+a_2 \cdot OP_2+\cdots+a_{2022}\cdot OP_{2022} \geq 1\)
再由柯西不等式所得結果，搭配上式
得到\(1\leq a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1\)
所以得到1
另外提一下計算第一題，最好不要使用估算法
要用估算法，誤差要縮很小，搭配常用對數或許可以，
但用計算機試了一下，只能用
\(e^\pi>2.7^{3.1415}>3.15^{2.7183}>\pi^e\)
得到正確結果
不過用\(\log 2=0.3010,\log 3=0.4771\)之類的去估算，會得到
\(3.1415 \log 2.7 - 2.7183 \log 3.15\simeq 0.0004\)
差距太小，表示還要花時間去說明你的估算誤差，沒有超過0.0004
所以下次看到，就真的不要用估算的
（或者有高手可以提供估算的做法）
填充14
提供自己的想法給大家參考,不知道有沒有更好的寫法[[i] 本帖最後由 yosong 於 2022-6-4 21:13 編輯 [/i]] 話說第13題的答案，是不是還可以多一個\(a^2\)呢？
畢竟它的橢圓方程式是給
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
沒有其它資訊判斷橢圓的長軸走向等等
教甄寫到這樣的題目，都會很猶豫要不要直接預設a>b
有時候怕預設了結果寫的答案不完整沒分數
不設又怕出題者覺得a>b理所當然
來寫個試題疑義好了
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