111建功高中國中部
請參考附件官方只有公布題目，沒有答案
參考答案是小弟隨意寫的，有錯請指正
其中第二部份第 4 題出得不好，其實會有無限多組解 請教第二部分填充2.5.7 填充第二部分
4.
假設：\(\displaystyle \frac{3^2-1^2}{1\times 2\times 3}+\frac{4^2-2^2}{2\times 3\times 4}+\frac{5^2-3^2}{3\times 4\times 5}+\ldots+\frac{111^2-109^2}{109\times 110\times 111}=a-\frac{1}{b}-\frac{2}{c}\)，則\(a+b+c=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{110}\frac{(k+1)^2-(k-1)^2}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4k}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4}{(k-1)(k+1)}=2\sum_{k=2}^{110}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\)
回覆 2# ChuCH 的帖子
第 2 部份第 2 題
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\angle A=40^{\circ}\)，且\(P\)為\(\overline{AB}\)邊上的一點使得\(\angle APC=120^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)[u] [/u]。
[解答]
令 BC = 1，所求為 AP
∠A = 40 度，∠B = 70 度，∠BPC = 60 度，∠ACP = 20 度
以下度省略
PC / sin70 = 1 / sin60
PC / sin40 = AP / sin20
AP * sin40 / sin20 = sin70 / sin60
AP = (sin70 * sin20) / (sin40 * sin60) = (cos20 * sin20) / (2sin20cos20 * sin60) = √3 / 3
第 5 題
已知三角形三個高分別為\(\sqrt{7}\)、\(\sqrt{5}\)、\(h\)，若\(h\)的範圍為\(a<h<b\)，則\(a+b=\)[u] [/u]。
[解答]
設三邊分別為 x，y，z
√7x = √5y = hz
x：y：z = 1/√7：1/√5：1/h
1/√5 - 1/√7 ＜ 1/h ＜ 1/√5 + 1/√7
1 / (1/√5 + 1/√7) ＜ h ＜ 1 / (1/√5 - 1/√7)
(7√5 - 5√7) / 2 ＜ h ＜ (7√5 + 5√7) / 2
a + b = 7√5
第 7 題
兩圓分別為\(C_1\)：\(x^2+y^2=25\)與\(C_2\)：\((x-10)^2+y^2=4\)，已知此二圓有四條公切線，其中兩條之斜率為正，且其交角為\(\theta\)，則\(sin\theta\)之值為[u] [/u]。
[解答]
設公切線為 y = ax + b，其中 a ＞ 0，b ＜ 0
| b | / √(a^2 + 1) = 5，| 10a + b | / √(a^2 + 1) = 2
解以下方程
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，(10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，- (10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
可得兩公切線為 y = (7/√51)x - (50/√51) 和 y = (3/√91)x - (50/√91)
tanθ = (7/√51 - 3/√91) / [ 1 + (7/√51)(3/√91)] = (7√91 - 3√51) / (√51 * √91 + 21)
sinθ = (7√91 - 3√51) / 100 想請問第一大題第10題
因為a，b皆大於1，所以-1/4應該不合？
還是我想錯了？
謝謝
回覆 5# pollens 的帖子
對，小弟疏忽了 謝謝鋼琴老師熱情分享喔^_____^ 想請教第一部份的3及第二部分的1回覆 8# chen3553 的帖子
第一部分的3已知\(36a^2+6a+1=0\)，求\(\displaystyle (6a)^{10}+\frac{1}{(6a)^7}=\)[u] [/u]。
[解答]
令t=6a，t^2+t+1=0，解得t=-1+-√3i/2
所求=t^10+t^-7用隸美弗定理即可求出。
第二部分的1
三個半徑為1的圓切於扇形內且彼此外切，試求此扇形的半徑=[u] [/u]。
[解答]
假設扇形圓心O，三小圓心A、B、C（由上開始逆時針編號），BC中點M
觀察出扇形圓心角60度，角BOA=15度，r=OB+1=OM*sec15度+1剩下交給你！
另外想問第二部分3、8以及計算題2。
回覆 9# Harris 的帖子
第二部分填充3.疫情影響，學校教職員分流上班(部分教職員居家辦公，部分到校辦公)，考慮一周五個工作天，若學校希望教務主任及2位組長，3人每天至少有2人到校辦公，每人當周最多3 天居家辦公(其中最多連續 2 天)，則 3 人的居家辦公安排方式共[u] [/u]種。
[解答]
先考慮每天至少2人到校辦公，居家辦公的人選為3人其中之一或無人居家
故有 \( 4^5 = 1024 \) 種
其中會有不符合題意的情況：有人居家辦公 4 天、5天或連續居家辦公 3天
示意如 AAAAX, AAAAA, AAAXX,...
說明AAAAX 表示 A 連續四天居家辦公，第五天X為非A或沒人居家辦公
因此不合的有 \( (C^5_4 \times 3 + C^5_5 + 3 \times 3^2) \times 3 = 129\)
故所求 \( =1024 - 129 = 895 \)
回覆 9# Harris 的帖子
計算 2.已知對於每一個正整數\(n\)，有\(a_n>0\)且\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^3=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2\)，試證：\(a_n=n\)。
[解答]
以數學歸納法證明 \( a_n = n \) 均成立。
當 \( n=1 \) 時，易得 \( a_1 = 1 \)
假設 \( n \le k \) 時，\( a_n = n \) 均成立，其中 \( k \) 為某正整數
將左式記作 \( L_n \), 右式記作 \( R_n \)
則當 \( n = k+1 \) 時
\( L_{k+1} - L_{k} = R_{k+1} - R_{k} \)
\( \Rightarrow a_{k+1}^3 = a_{k+1} (a_{k+1} + n(n+1)) \)
\( \Rightarrow a_{k+1}(a_{k+1} - k-1)(a_{k+1}+k) = 0 \)
因 \( a_{k+1} > 0 \)，故 \( a_{k+1} = k+1 \)
由數學歸納法得，\( a_n = n \) 對所有正整數 \( n \) 均成立
回覆 9# Harris 的帖子
第二部分 第 8 題現有編號1、2、3、…、9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。則甲有兩回合獲勝的情況有[u] [/u]種。
[解答]
從 9 張牌中取 6 張牌有 C(9，6) = 84 種方法
3 張給甲，3 張給乙
取出的 6 張牌可由小到大排列
設取出的 6 張牌為 1、2、3、4、5、6
有以下 5 種情形，甲有兩回合獲勝
甲：6、5、1
乙：4、3、2
甲：6、4、1
乙：5、3、2
甲：6、3、2
乙：5、4、1
甲：5、4、3
乙：6、2、1
甲：5、4、2
乙：6、3、1
所求 = 84 * 5 = 420
回覆 12# thepiano 的帖子
看來我排組需要再加強，謝謝兩位老師的回應回覆 12# thepiano 的帖子
第二部分，第 8 題，這裡我覺得有趣的地方是甲三回合獲勝、二回合獲勝、一回合獲勝、零回點獲勝的情況數是一樣多的
也就全部情況數四分之一，即 \( C^9_3C^6_3\cdot \frac14 = 420\)
回覆 9# Harris 的帖子
謝謝解惑~考試太急忘了連一次項的6a一起處理 請教填充第二部分的第 6 題
回覆 16# Superconan 的帖子
第二部分，第6題已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=[u] [/u]。
[解答]
先將三角形切成三個部分，再利用共用底邊、共用高或共用頂角的方式及線段長比，計算面積比
\( \triangle OMN+\triangle ONP+\triangle OPM \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{3}\triangle PBD+\frac{1}{6}\triangle PCA \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{6}\triangle CBD+\frac{1}{12}\triangle DCA \)
\( =\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{3}+\frac{1}{6}\cdot6\sqrt{3}+\frac{1}{12}\cdot3\sqrt{3}=\frac{7}{4}\sqrt{3} \)
回覆 16# Superconan 的帖子
填充第二部分的第 6 題已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=[u] [/u]。
另解
[img]https://upload.cc/i1/2022/08/07/z0oRhF.png[/img]
回覆 17# tsusy 的帖子
謝謝！看懂了！不過想請問最後的面積，是用 1/2 ab sinθ 算出來的嗎？（聽說這題好像國中生就可以解
回覆 19# Superconan 的帖子
角度到處都是 60°, 120°，國中生畫個高，也是可以算樓樓上坐標、向量做起來超快
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