111高雄市高中聯招
依然是全手寫 考古題不少 應該75~80進複試計算1
若\(m\)、\(n\)均為正整數且\(m\ge 2\)。鋸齒數列\((m,n)\)為有\(n\)個齒，且每個齒從1開始往上至\(m\)後再往下至1。例如鋸齒數列\((3,4)\)如圖2所示
３ ３ ３ ３
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
１ １ １ １ １
由上圖可知鋸齒數列\((3,4)\)包含17個正整數且平均為\(\displaystyle \frac{33}{17}\)。若鋸齒數列\((m,n)\)的所有數字和為145，請找出所有可能之數對\((m,n)\)。
[解答]
即\(m,n\in \mathbb{N}\)，滿足\(m^2n-n=144\)的所有解
分解成\(n(m^2-1)=144\)，因數分解慢慢去找 ，即可得\((m,n)=(2,48),(3,18),(5,6),(7,3)\)
然後小弟(m,n)寫反....
填充6.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係式\(\cases{a_1=3,a_2=\frac{7}{4}\cr a_n+\alpha=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\alpha),n\ge 2}\)，其中\(\alpha\)為常數，則\(a_{10}=\)？
[解答]
先求出\(\displaystyle \alpha =\frac{-1}{2}\)，回推\(\displaystyle a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}\cdot \frac{5}{2}+\frac{1}{2}\)
即可求出\(\displaystyle a_{10}=\frac{517}{1024}\)
填充7.
數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足關係式\(\displaystyle log_{n+1}a_n=1+\frac{1}{(n+1)log(n+1)}\)，若\(\displaystyle \frac{a_n}{n+1}<1.2\)，則自然數\(n\)的最小值為？
[解答]
求出\(\displaystyle a_n=(n+1)10^{\frac{1}{n+1}}\)，所求即滿足\(\displaystyle 10^{\frac{1}{n+1}}<1.2\)之最小的n
用對數計算一下可得n=12為最小 4.
若\(x>0\)，試求函數\(f(x)=\sqrt{x^2+(log_2x)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(log_2x-1)^2}\)的最小值？
(兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url]) 想請教版上老師填充2、13，謝謝!
回覆 4# lisa2lisa02 的帖子
2.解不等式\(|\;3x-10|\;-|\;x^2-6x+5|\;>5\)。
[解答]
分段討論，\( x<1,1\leq x\leq\frac{10}{3},\frac{10}{3}\leq x<5, x\leq5\)
13.
現有一方陣\(A_n\)，其內部的元依以下規則排列
\(A_1=[1],A_2=\left[\matrix{1&3 \cr 2&4}\right],A_3=\left[\matrix{1&3&4\cr 2&5&8\cr 6&7&9}\right]\)，請問\(A_{32}\)的第12列第24行的元為[u] [/u]。
[解答]
我是用斜線來看的，按照矩陣的排序方式，從左上角開始沿斜率為1的直線平移，每一條直線中的\(a_{ij}\)中的\(i+j=k,2\leq k\leq 64\)，\(a_{(12,24)}\)會在\(i+j=36\)的斜直線上，從上方往斜下方數第九個
一共是\((1+2+\cdots+31+32+31+30+29)-9=598\)
回覆 5# zidanesquall 的帖子
謝謝老師的回覆! 想請問填充11，N怎麼沒頭沒尾的．．．回覆 7# ㄨㄅㄒ 的帖子
第一部分，第11題在座標平面上\(\Delta ABC\)內部有一點\(P\)，若\(\Delta PAB,\Delta PBC,\Delta PCA\)其面積比為\(3:1:2\)，且\(|\;2\vec{NA}+4\vec{NB}+6\vec{NC}|\;=36\)，求\(|\;\vec{NP}|\;\)=[u] [/u]。
[解答]
從面積比，可以得到 P 點的位置，以A, B, C 分點公式的方法表示
向量和的長度為 36 的式子，也改成分點公式的方式表示
就會得到 \( 12 | \vec{NP} | = 36 \)，故所求 \( | \vec{NP} | =3 \) 數學一般地區 最低錄取分數：63分
數學偏遠地區 最低錄取分數：59分
請問第3題
我是令B點座標(b,4a-b),C點座標(c,4a-c),然後用VB,VC向量圍成的三角形面積公式去算但數字很醜,不好算...
請問各位高手,還有其他比較快的作法嗎?謝謝作法嗎?謝謝!
回覆 10# yuen1008 的帖子
3.\(\displaystyle a>\frac{1}{2}\)，拋物線\(y=ax^2+2\)之頂點為\(V\)且與\(y=-x+4a\)相交於\(B\)、\(C\)兩點。已知\(\Delta VBC\)面積為\(\displaystyle \frac{72}{5}\)，試求\(a\)之值。
[解答]
令\(x_1,x_2\)為\(ax^2+2=-x+4a\)的兩根，\(B(x_2,-x_2+4a),C(x_1,-x_1+4a)\)
兩根和\(\displaystyle \frac{-1}{a}\) 兩根積\(\displaystyle \frac{-4a+2}{a}\)
而\(\displaystyle \frac{72}{5}=\frac{1}{2}|\left |\begin{array}{cccc}
0 &x_2 & x_1&0 \\
2 &-x_2+4a &-x_1+4a& 2 \\
\end{array}\right||\)
\(=|2(x_1-x_2)-4a(x_1-x_2)|=|(2-4a)(\sqrt{\frac{1+16a^2-8a}{a^2}})|\)
因為\(\displaystyle a>\frac{1}{2}\)
所以
\(\displaystyle \frac{144}{5}=|(2-4a)(\frac{4a-1}{a})|=(4a-2)(\frac{4a-1}{a})\)
剩下就是解\(a\)
回覆 11# PDEMAN 的帖子
感謝~ 請問第12題答案只有4x-3y=0，但我算出另一個答案3x+4y=0，為什麼是不合的?
回覆 13# jim1130lc 的帖子
您要寫一下您的算法，才知道問題所在回覆 14# thepiano 的帖子
12.在座標平面上，已知\(\displaystyle A=\frac{1}{25}\left[\matrix{-7&24\cr 24&7}\right]\)是以直線\(L\)為鏡射軸的鏡射矩陣，試求鏡射軸\(L\)的直線方程式[u] [/u]。
[疑問]
從鏡射矩陣可得\(\cos 2\theta=\displaystyle\frac{-7}{25}\)，\(\sin 2\theta=\displaystyle\frac{24}{25}\)
\(\Rightarrow \tan 2\theta=\displaystyle\frac{-24}{7}\)，再由\(\tan\)的二倍角公式\(\displaystyle\frac{-24}{7}=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
就計算出\(\tan\theta=\displaystyle\frac{4}{3},\frac{-3}{4}\)
不過答案只給4x-3y=0，不知道3x+4y=0是哪裡不合呢？謝謝
回覆 15# jim1130lc 的帖子
由 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{-7}{25}\) 及 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\)，可推得 \(\displaystyle \tan 2\theta=\frac{-24}{7}\) 。但是 \(\displaystyle \tan 2\theta=\frac{-24}{7}\) 卻無法推得 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{-7}{25}\) 且 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\)，
因為還可能是 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{7}{25}\) 且 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{-24}{25}\)。
猶如 \(x=1 \Rightarrow x^2=1\)（增根了），但 \(x^2=1\) 無法推得 \(x=1\)。
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可取平面上異於原點的任一點，例如取 \(P(1,0)\)，
則鏡射後的點為 \(\displaystyle AP = \left(\frac{-7}{25}, \frac{24}{25}\right)\)，
得兩者的中點 \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(P+AP\right) = \left(\frac{9}{25}, \frac{12}{25}\right)\) 必落在鏡射軸 \(L\) 上，
又 \(L\) 通過原點 \(\displaystyle \left(0,0\right)\)，得鏡射軸 \(L\) 的方程式為 \(4x-3y=0\) 。
補充：或是半角公式 \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \frac{1-\cos2\theta}{\sin2\theta}\) 也可以。
回覆 16# weiye 的帖子
原來如此，謝謝鋼琴老師跟瑋岳老師請問第13題
版上老師好 請問第13題 要求a(12,24)的數字 為何?小弟用笨方法一個一個排 或是用(1+2+3+...+35)=630 在倒回算23個 (a(35,1)到a(12,24差了23個數)
630-23=607 一直算不出答案的598不知到哪裡想錯了
回覆 18# anyway13 的帖子
5樓已有老師這樣算: (1+2++31+32+31+30+29)−9=598請注意,被加數中最大只有到32,因為題目是A32方陣;
而你的算式: (1+2+3+...+35)=630 被加數中有3個超過32了,這是A無限大方陣!!
詳解如下:
將此題視作函數對應 f( i, j )=n, 直線Lm包含所有 i+j = m+1 之點.
i+j=2, L1: f(1,1)=1
i+j=3, L2: f(2,1)=2, f(1,2)=3
i+j=4, L3: f(1,3)=4, f(2,2)=5, f(3,1)=6
.....
f(12,24) , 即 i+j=36, 在L35上
L34最大函數值=1+2+...+32+(31+30)=589
i+j=36, L35: f(4,32)=590, f(5,31)=591, ...
f(12,24)=590+(12-4)=598
回復 19# Lopez 的帖子
原來是超過32了 感謝老師講解頁:
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