111全國高中職聯招
如附件~很多考古題 選擇題
3.
若\(a\)、\(b\)為實數，則\(\sqrt{(4-b)^2+3^2}+\sqrt{(a-b)^2+a^2}+\sqrt{(4-a)^2+(3-a)^2}\)之最小值為何？
(A)\(4\sqrt{2}\) (B)\(5\sqrt{2}\) (C)\(2\sqrt{10}\) (D)\(3\sqrt{10}\)
4.
小明到畫廊賞畫，牆壁上懸掛一幅山水畫\(AB\)，\(A\)點，\(B\)點分別離地4公尺，2公尺高，若小明的眼睛\(C\)離地1.5公尺高，則\(C\)離牆壁多遠時，他對該幅「山水畫」的視角\(\theta\)最大？
(A)\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)公尺 (B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)公尺 (C)\(\sqrt{5}\)公尺 (D)\(2\sqrt{5}\)公尺
5.
\(A,B,C\)分別為正立方體三稜的中點，則過\(A,B,C\)三點的平面與此正立方體的截痕形狀為何？
(A)六邊形 (B)五邊形 (C)四邊形 (D)三角形
右圖為一正立方體，\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為所在的邊之中點，通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點的平面與此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀？
(A)直角三角形 (B)非直角三角形 (C)正方形 (D)非正方形的長方形 (E)六邊形
(105嘉義高中科學班，[url]https://math.pro/db/thread-2874-1-1.html[/url])
7.
求值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(4n+1)^2+(4n+2)^2+(4n+3)^2+\ldots+(4n+3n)^2}{n^3}\)
(A)24 (B)33 (C)93 (D)279
12.
已知圓周上有8個不同的等分點，選出正確的選項：
(A)以這些點為頂點，可決定24個直角三角形
(B)以這些點為頂點，可決定24個鈍角三角形
(C)以這些點為頂點，可決定8個銳角三角形
(D)以這些點為頂點，可決定70個四邊形
設\(n\)為正整數，\(n\ge 3\)。
(1)自圓之內接正\(2n\)邊形的頂點任取三點為三角形的頂點，則可做成多少個銳角三角形？
(2)自圓之內接正\(2n+1\)邊形的頂點任取三點為三角形的頂點，則可做成多少個銳角三角形？
(103復興高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1892&page=2#pid10516[/url])
填充題
5.
以之實數\(a>1\)，正方形\(ABCD\)的面積為144，其中\(\overline{AB}\)與\(x\)軸平行，且\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為函數\(y=log_a x\)，\(y=2log_a x\)，\(y=3log_a x\)圖形上的點，試求\(a^3+a^{-3}=\)[u] [/u]
6.
設\(f(x)=x^3+3x^2-4x-2\)，\(g(x)=x^4+6x^3+5x^2-16x-2\)，且\(\alpha,\beta,\gamma\)為\(f(x)=0\)的三個根，則\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\)[u] [/u]。
類似問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652[/url] 複選12
已知圓周上有8個不同的等分點，選出正確的選項：
(A)以這些點為頂點，可決定24個直角三角形
(B)以這些點為頂點，可決定24個鈍角三角形
(C)以這些點為頂點，可決定8個銳角三角形
(D)以這些點為頂點，可決定70個四邊形
[解答]
(A) ,(B): 請參考圖示
(C): C(8,2)-(A)的答案-(B)的答案
=56-24-24=8
(D):C(8,4)=70
計算2(1)
已知自然常數\(\displaystyle e=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)，試寫出\(\displaystyle \frac{d}{x}(lnx)\)並證明之。[解答]
\(\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \)
搭配微積分基本定理，即可得\( \ln x\)的微分為\( \frac{1}{x} \)
採用這個定義方式和思路，題目\(e\)的條件就用不到了 填8 (今年111中科實中,一模一樣題目)
所求面積
= [(√2)/2]² *π*2 +(√2)²
=π+2 [quote]原帖由 [i]呆呆右[/i] 於 2022-5-14 15:44 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24145&ptid=3643][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\(\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \)
搭配微積分基本定理，即可得\( \ln x\)的微分為\( \frac{1}{x} \)
採用這個定義方式和思路，題目\(e\)的條件就用不到了 [/quote]
前面有給\(e\)的定義,出題老師的用意應該是要考生用導函數定義去做
不曉得直接用微積分基本定理會不會給分 #計算1
對所有的正整數\(n\)，若數列\(<a_n>\)的前\(n\)項之和\(a_1+a_2+\ldots+a_n=4n^2\)恆成立，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\sqrt{a_2+a_4+\ldots+a_{2n}}-\sqrt{a_1+a_3+\ldots+a_{2n-1}})\)之值為何？
[解答]
先算出a_n ,列式, 反有理化
回覆 6# Ellipse 的帖子
計算2.(1) 的確像橢圓老師說的，出題者很可能有此意思但題意條件不夠明確的情況下，就會不清楚是用哪些定義
以中學的觀點可能會比較接受 \( \ln x \) 是 \( e^x \) 的反函數
所以需要先知道或證明 \( e^x \) 的導函數還是 \( e^x \)
(中學觀點可以先接受有指數律，那就至少需要 \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \) )
如果連 \( e^x \) 的導函數也要證明，那很可能需要更一步的指數函數定義：
\( e^x = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n \)
考試的時候，考生很難把握，什麼可以直接用、什麼需要證明才能使用 1.帶入硬算
2.配成無2次式
3.將(4,3)分別對x=y和x=0作兩次鏡射
4.tan合角
5.延邊切
6.對稱方程
7.7n-4n
8.9的倍數
填充
1.微分
2.半角
3.排列
4.複數極式
5.解聯立
6.g(x)除f(x)得一次餘式，所求為f'(x)/f(x)
7.2^10-C(10,0)-C(10,1)-C(10,2)
8.如橢圓老師所解
9.判別式0，解聯立
計算二-2
不曉得有無其他解法[attach]6384[/attach]
回覆 10# tony90233 的帖子
直接把ln(1+x)的泰勒展開式寫出來就好第一頁解析
忙中有錯, 請包含指教!第二頁解析
忙中有錯, 請包含指教!第三頁解析
忙中有錯, 請包含指教!回覆 12# tuhunger 的帖子
第4題：後面解法稍微改一下，用算幾不等式
\( \frac{8x}{4x^2+5} =\frac{8}{4x+\frac{5}{x}} \)最大值發生在\( \displaystyle 4x+\frac{5}{x} \) 有最小值時。
由算幾不等式的等號成立條件，知\( \displaystyle 4x=\frac{5}{x} \) 因此 \( \displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{2} \)
第8題：
老師你的數字抄錯了喔，是3087！
另外考完一直在想，雖然可以用9的倍數來解這題，但若題目改問，此七位數可能為多少？
目前還沒想到暴力解以外的算法。
回覆 15# swallow7103 的帖子
感謝燕子老師，第8題筆誤的部分，有空再改出這份考卷的教授，明顯中學數學沒問題，
但小學計算：100÷24≈4.2(分/題)…
希望這個版有教授來看，這樣的題目，
一定會犧牲掉有閱讀障礙的老師，
但這些老師解題能力不一定亞於其他人…
108課綱正也是這個問題，把素養能力出成考閱讀能力…
借此，希望有出題教授能看到，感恩
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