想問填充第三題，謝謝 [/quote]
用partial fraction
\(=\sum\frac4{n^2(n+1)^2}=\sum4\left(\frac1{n^2}+\frac1{(n+1)^2}+\frac2{n+1}-\frac2n\right)\)
\(=4\left(\frac{\pi^2}6+\left(\frac{\pi^2}6-1\right)-\frac21\right)=\frac{4\pi^2}3-12\)
中間的等號，是因為題目給了該級數和收斂，跟後面telescope收斂。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-8 19:27 編輯 [/i]]
回復 21# HLX 的帖子
第3題可以這樣拆
\(\begin{align}
& \frac{1}{{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+\cdots +{{k}^{3}}} \\
& =\frac{4}{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}} \\
& =4\left[ \frac{2k+3}{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}-\frac{2k-1}{{{k}^{2}}} \right] \\
\end{align}\) [quote]原帖由 [i]PDEMAN[/i] 於 2022-5-8 11:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24096&ptid=3641][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充4 另解
\(f(15)=-15,f(22)=-23,f(29)=-31,f(36)=t\)
四點用插值，可寫出
\(f(x)=-15c^{x}_{0}-\frac{8c^{x}_{1}}{7}+\frac{0c^{x}_{2}}{7^2}+\frac{(t+39)c^{x}_{3}}{7^3}\)
最後因為首項係數為1
所以\(\frac{(t+3 ... [/quote]
令\(g(n)=f(7n+8)\)
則變成解\(g(1)=-15, g(2)=-23, g(3)=-31\)且\(g(x)\)領導係數為\(7^3=343\)，然後求\(g(4)\)(其實也可以不做這個動作，直接算\(f\)，只是數字大了點)
而\(x\)成等差的時候\(y\)也成等差，所以\(x=2\)時是三次多項式的中心，令\(g(x)=343(x-2)^3+a(x-2)-23\)
因為\(g(1)=-15\)，解得\(a=-351\)，所以\(g(x)=343(x-2)^3-351(x-2)-23\)，因此\(g(4)=343\times8-351\times2-23=2019\)。
出題老師應該是直接抄2019年某個地方的題目，連改都沒改。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:20 編輯 [/i]]
回復 6# lisa2lisa02 的帖子
第 4 題g(x) = f(7x + 8) - (7x)^3
g(1) = f(15) - 7^3
g(2) = f(22) - 8 * 7^3
g(3) = f(29) - 27 * 7^3
g(4) = f(36) - 64 * 7^3
由巴貝奇定理
g(4) - 3g(3) + 3g(2) - g(1) = 0
f(36) - 64 * 7^3 - 3f(29) + 81 * 7^3 + 3f(22) - 24 * 7^3 - f(15) + 7^3 = 0
f(36) = 6 * 7^3 + 3f(29) - 3f(22) + f(15) = 2058 - 93 + 69 - 15 = 2019 第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且\(\alpha+(\alpha+\beta)=\pi\)
得\(\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}\)時有最小值\(\frac{3}{4}\)
[[i] 本帖最後由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:57 編輯 [/i]]
項充第2題
全國中方法 [quote]原帖由 [i]jim1130lc[/i] 於 2022-5-9 12:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24117&ptid=3641][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且 ... [/quote]
這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:43 編輯 [/i]]
回復 17# DavidGuo 的帖子
您好，想請問填充7的題意是什麼意思??看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!! [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2022-5-9 17:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24120&ptid=3641][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。 [/quote]
感謝教授補充...的確應該要再更完整比較好 [quote]原帖由 [i]dorara501[/i] 於 2022-5-9 17:57 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24121&ptid=3641][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
您好，想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!! [/quote]
擲了10顆骰子，
若全都是3點，那就是只有一種點數。
若是1122555566，就是四種點數。
若1111122333，就是三種點數。
題意就是問，擲了十顆骰子，期望會出現幾種點數。
正常算是利用1*只出現一種點數的機率，所以是\(1\times\frac{6}{6^{10}}\)
再加上2*恰出現兩種點數的機率，所以是\(2\times\frac{C^6_2(2^{10}-C^2_11^{10})}{6^{10}}\)。
加上3*恰出現三種點數的機率，…直到6，這樣算也可以，比較煩一點。
通常都是利用期望值的性質來算比較快，這招一定要會的，教甄很常很常用這招。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-10 13:10 編輯 [/i]] 第4題，跟別位教授討論之後，發現有更簡單的算法。
由題意知\(f(7n+8)+8n+7=7^3(n-1)(n-2)(n-3)\)
所以\(4\)代入就是答案了。 填10:
令X=A-B,Y=B-C,Z=C-A
先證:
2X+2Y+2Z=0,則cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)的最小值為-3/2----------------(*)
則(cosX)² +(cosY)² +(cosZ)²
=(3/2) + (1/2)* [cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)]
≧ (3/2) +(1/2)*(-3/2) (由(*)得)
=3/4
註: (*)證明請參考:
[url]https://math.pro/db/thread-1753-1-1.html[/url]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-9 21:58 編輯 [/i]]
回復 31# DavidGuo 的帖子
非常感謝，懂了~ 第2題用國中作法
[[i] 本帖最後由 yuhui1026 於 2022-5-10 18:55 編輯 [/i]] 計算第 1 題
f(x) = Q_1(x)(x - 1)^2 + ax + b
= Q_2(x)(x + 1)^2 + bx + a
= Q_3(x)(x - 1)^2(x + 1)^2 + cx^3 + dx^2 + ex
ac ≠ 0
f(1) = a + b = c + d + e
f(-1) = a - b = - c + d - e
可解出 a = d，b = c + e
f '(1) = a = 3c + 2d + e
f '(-1) = b = 3c - 2d + e
d = 3c + 2d + e
c + e = 3c - 2d + e
可解出 d = c，e = -4c
R(x) = cx^3 + dx^2 + ex = cx^3 + cx^2 - 4cx = 0
x(x^2 + x - 4) = 0
x = 0 or (-1 ± √17)/2
計算第 2 題
(1) 當 n + 1 為完全平方數，且有 m 個正因數，易知 m 是正奇數
[√(n + 1)] = [√n] + 1
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + (m + 1)
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶
(2) 當 n + 1 不為完全平方數，且有 m 個正因數，易知 m 是正偶數
[√(n + 1)] = [√n]
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶
(3) 而 n = 1 時，[√1] + [1 / 1] = 2，是偶數
故對任意正整數 n， [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 必為偶數
計算第二題補充
[attach]6369[/attach][attach]6370[/attach][[i] 本帖最後由 tony90233 於 2022-5-11 10:57 編輯 [/i]]
回覆 36# thepiano 的帖子
請問計算(1)我的作法跟您差不多，只有假設R(x)=c(x+1)(x-1)^2+d(x-1)^2+ax+b
最後會得到 x(2x^2-x-5)=0 與答案不同
請問我R(x)的假設方法是哪裡出錯了嗎？
回覆 38# jerryborg123 的帖子
請寫一下您的完整做法回覆 39# thepiano 的帖子
剛剛重寫一次發現過程計算有誤，更正後得到相同答案謝謝老師