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我真心在追求我的夢想時,
每一天都是繽紛的。
因為我知道每個小時都是實現理想的一部份。

swallow7103 發表於 2022-4-24 21:29

111臺南一中二招

依往例南一中應該會公告題目,這邊先附上計算提供大家討論。
今年考得很難,寫起來應該是要兩個小時的考卷,但實際只有九十分鐘...

計算題共3題,每題9分。
一、求 \(\displaystyle \left[ \frac{10^{2022}}{10^{674}+2022} \right] \)的末4位數。
二、設三複數 \( \alpha ,\beta ,\gamma \)在座標平面上代表\( A, B, C \)三點(其中\(A\)在第一象限),且\( \Delta ABC\)是正三角形。已知\( \alpha ,\beta ,\gamma \)滿足
\[ \alpha^4 - 2\alpha^3\beta + \alpha^2 ( \beta^2 - 4) + 8\alpha\gamma -4\gamma^2 =0 \],
且 \( \Delta ABC \)之重心\( G \)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\),試求\( \alpha, \beta, \gamma \)。
三、設實係數多項式 \( f(x) \)滿足 \( deg(f(x)) \geq 2 \),且\( f'(x) \)是\( f(x) \)的因式,請問\( f(x)=0 \)的實根個數、\( y=f(x) \)的極值點以及反曲點個數各有幾個?

bugmens 發表於 2022-4-24 21:33

填充題
4.
\(\angle AOB=60^{\circ}\),\(\overline{PA}⊥\overline{OA}\),\(\overline{PB}⊥\overline{OB}\),\(\overline{PA}=2\),\(\overline{PB}=1\),若\(\vec{OP}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB}\),求數對\((\alpha,\beta)=\)[u]   [/u]。

9.
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n})^2(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)}{(\root 3\of 1+\root 3\of 2+\root 3\of 3+\ldots+\root 3\of n)^3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}\)之值為[u]   [/u]。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]


11.
已知\(\displaystyle p=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2021\times 2022}\),
\(\displaystyle q=\frac{1}{1012\times 2022}+\frac{1}{1013\times 2021}+\frac{1}{1014\times 2020}+\ldots+\frac{1}{2022\times 1012}\),試求\(\displaystyle \frac{p}{q}\)之值=[u]   [/u]。
[公式]\
\(\displaystyle p=(\frac{2022}{2}+1+2022)(一堆分數相加)\)
\(\displaystyle q=2(一堆分數相加)\)

兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)?(請化為最簡分數)
(99彰化女中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128[/url])
[公式]
\(\displaystyle a=(\frac{2004}{2}+1+2004)(一堆分數相加)\)
\(\displaystyle b=2(一堆分數相加)\)

計算證明題
1.
試求\(\displaystyle  \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] \)的末4位數,其中\([\; ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數。
相關問題[url]https://math.pro/db/thread-708-1-1.html[/url]

satsuki931000 發表於 2022-4-24 21:47

1.
試求\(\displaystyle  \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] \)的末4位數,其中\([\; ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數。
[解答]
令\(\displaystyle A=10^{674}+2022\)
所求為\(\displaystyle M= A^2-6066A+3\cdot 2022^2-1 \)除以10000的餘數
\(\displaystyle M \equiv 2022^2-3\cdot 2022^2+3\cdot 2022^2-1 \equiv 2022^2-1\equiv 8483\ (mod\ 10000)\)

BTW 今年一堆獨招都只有考90分鐘 實在不知道怎麼回事.....

swallow7103 發表於 2022-4-24 21:58

回復 1# swallow7103 的帖子

計算二
設複數平面上三點\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)可連成正三角形\(ABC\),已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)滿足\(\alpha^4-2\alpha^3\beta+(\beta^2-4)\alpha^2+8\alpha\gamma-4\gamma^2=0\)且\(\alpha\)的實部和虛部均為正數,當\(\Delta ABC\)的重心\(G\)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\)時,求\(\beta\)及\(\gamma\)各為多少?
[解答]
化簡那串式子可得\( \alpha^2(\alpha-\beta)^2=(2\alpha-2\gamma)^2 \),因此
\(\displaystyle \alpha=\pm \frac{2(\alpha-\gamma)}{\alpha-\beta}\),由圖形及複數除法的意義及A在第一象限,
可得\( \alpha=2(\cos60^{\circ} + i \sin60^{\circ}) \),再由重心G為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}} \),
可得G所代表的複數為\( -2 \)。再來(我直接用A, B, C, G表示複數了),因為\( A-G\)知道了,
所以\( (B-G)=(A-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  \)、\( (C-G)=(B-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  \)。
得出來的結果在加G(-2)就可以得到\( \beta, \gamma \)。

satsuki931000 發表於 2022-4-24 22:25

回復 4# swallow7103 的帖子

這題小弟第一步有想到
結果時間壓力根本沒想到移項這件事情.....
然後就白白送9分了
這題真的不應該寫不出.....

craig100 發表於 2022-4-24 22:27

計算3.
已知\(deg(f(x))=n\ge 2\)且\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式,試求\(f(x)=0\)的相異實根個數及\(y=f(x)\)圖形的極值點個數、反曲點個數。
[解答]
不失一般性,設 f(x) 首項係數為 1,
由原題條件得:
f(x) = (1/n) f'(x) (x-k), 其中 k 為某實數。
對上式微分並整理有:
f'=(1/(n-1))f''(x)(x-k),
再微分,依此類推得
f(x) = (1/n!) f^(n)(x) (x-k)^n
注意到, f^(n)(x) =n!
故 f(x) = (x-k)^n
有唯一實根(n 重根),有唯一極值點,n 為奇數時有唯一反曲點,n 為偶數時無反曲點。

Superconan 發表於 2022-4-24 22:50

回復 5# satsuki931000 的帖子

沒關係,我看到你寫的第 1 題詳解,發現我末四位寫成 mod1000...,這才是白白送 9 分,不知道閱卷老師會不會好心部分給分...
我寫答案的時候還想說末四位,所以 483 前面還要加一個零變成 0483...

Superconan 發表於 2022-4-25 10:17

回復 1# swallow7103 的帖子

學校已公告試題與答案
標題是否要改為「111臺南一中二招」?

111.4.25補充
將題目移到第一篇,將標題加上111臺南一中二招

thepiano 發表於 2022-4-25 12:03

回復 8# Superconan 的帖子

通常"二招",應該是同一年,數學招考第二次吧?

Superconan 發表於 2022-4-25 13:11

回復 9# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師建議
要不要加二招我想了很久

後來想說,萬一臺南一中這次沒有招到老師
那麼他就會舉辦111學年度第3次教師甄選
到時候數學科就會有第二份數學考卷,而上面的標題是「111學年度第3次教師甄選」

那之後的考生練習考古題時,就會有兩份考卷,
上面的標題分別是「111學年度第2次教師甄選」和「111學年度第3次教師甄選」

而如果我們在 mathpro 的標題分別是「111臺南一中」和「111臺南一中二招」,感覺會無法呼應。

因此建議 mathpro 的標題應該改成「111臺南一中二招」較佳。

Superconan 發表於 2022-4-25 14:07

請問第 9 題這樣做,錯在哪?
[attach]6321[/attach]

pretext 發表於 2022-4-25 14:35

回復 11# Superconan 的帖子

倒數第三個等號那邊,是不是漏了平方?

Superconan 發表於 2022-4-25 15:12

回復 12# pretext 的帖子

謝謝!我跟另一個朋友都算 2/3 …
但我發現平方完,答案還是不對

PDEMAN 發表於 2022-4-25 15:17

回復 13# Superconan 的帖子

分母有一個三次方

Superconan 發表於 2022-4-25 15:43

回復 14# PDEMAN 的帖子

非常感謝!!算出來了!一直漏看@@

satsuki931000 發表於 2022-4-25 15:48

14.
已知\(A(x,y)\)在以原點為中心、邊長為2且邊長平行坐標軸的正方形上。若平面上有一點\(B(m,n)\)滿足\((m-4)^2+(n-4)^2=4\)且\(\sqrt{m^2+n^2}+\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(m+x)^2+(n+y)^2}\),則\(x\)的範圍為[u]   [/u]。
[解答]
忘記是不是講義還是習作的挑戰題
易知\(\displaystyle (x,y)\)為第一象限的點
所求即為對\(\displaystyle (x-4)^2+(y-4)^2=4\)做過原點的切線,並且再去看這兩條切線和正方形的交點x坐標

也就是求兩條切線和\(y=1 , x=1\)的交點x坐標,可得範圍為\(\displaystyle \frac{4-\sqrt{7}}{3} \leq x \leq 1\)

15. 應該很好猜\(\displaystyle a_n=2n\)
想請問正規作法

Superconan 發表於 2022-4-25 15:56

回復 16# satsuki931000 的帖子

南一版第 3 冊數 A 平面向量的最後一題
可惜來不及寫
[attach]6326[/attach]

thepiano 發表於 2022-4-25 16:12

回復 16# satsuki931000 的帖子

第 15 題
設正整數數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)為嚴格遞增數列且滿足\(a_{a_n}=4n\),求\(a_8=\)[u]   [/u]。
[解答]
繞口令...

a_(a_1) = 4
a_1 ≦ 4

討論
(1) a_1 = 1
a_(a_1) = a_1 = 1,不合

(2) a_1 = 2
a_(a_1) = a_2 = 4

(3) a_1 = 3
a_(a_1) = a_3 = 4,a_2 無解,不合

(4) a_1 = 4
a_(a_1) = a_4 = 4,與 a_1 同,不合

故 a_1 = 2,a_2 = 4

a_(a_2) = a_4 = 8

a_(a_4) = a_8 = 16

son249 發表於 2022-4-25 23:20

請問填充13

請問填充13題怎樣算?

PDEMAN 發表於 2022-4-26 08:41

回復 19# son249 的帖子

長方體\(ABCD-EFGH\)中,已知直線\(AC\)方程式為\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+7}{1}\),直線\(HF\)方程式為\(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{-3}\),且\(A(3,-1,-7)\)。試求矩形\(ABCD\)面積為[u]   [/u]。
[解答]
可以參考寸絲老師的做法
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3507&page=4#pid22683[/url]

頁: [1] 2

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