Math Pro 數學補給站's Archiver

小確幸 ─ 「生活中微小但確切的幸福」

Gary 發表於 2022-4-24 08:46

111中壢高中

題目跟解答在二樓

[[i] 本帖最後由 Gary 於 2022-4-24 09:47 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2022-4-24 09:35

回復 1# Gary 的帖子

題目已釋出

bugmens 發表於 2022-4-24 12:16

1.
試求級數\(\displaystyle \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{3^6-64}+\frac{3\cdot 5 \cdot 7}{5^6-64}+\frac{5\cdot 7\cdot 9}{7^6-64}+\ldots+\frac{19\cdot 21 \cdot 23}{21^6-64}\)之和為[u]   [/u]。

8.
矩陣\(A=\left[\matrix{11&9 \cr -6&-4} \right]\),\(I_2=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\),若有兩矩陣\(P\)、\(Q\)且滿足\(\cases{5P+2Q=A \cr P+Q=I_2}\),且\(A^4=aP+bQ\),試求\(log_{10}ab\)為[u]   [/u]。

設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\),其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\),\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\),若\(A^7=aP+bQ\),則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)[u]   [/u]。
(101台中女中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463[/url])
我的教甄準備之路 矩陣n次方

Superconan 發表於 2022-4-24 12:19

請教第 5、7 題

Ellipse 發表於 2022-4-24 13:10

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-24 12:19 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23953&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第 5、7 題 [/quote]
填5
(b+c)² [sin(A/2)]² +(b-c)²[cos(A/2)]² =13²+(8√3)²
整理得b²+c²-2bc{ [cos(A/2)]² -[sin(A/2)]² } =361
b²+c²-2bc*cosA =361
由餘弦定理得a² =361 , a=19

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-24 13:11 編輯 [/i]]

HLX 發表於 2022-4-24 13:46

填7

PA和軸的夾角和QA和軸的夾角相同
就可以解出來了

Christina 發表於 2022-4-24 15:33

想請教第9題,謝謝老師們

thepiano 發表於 2022-4-24 17:36

回復 7# Christina 的帖子

第9題
湊一湊
\(\begin{align}
  & z=\frac{32}{x-yi}=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)i \\
& z=\left( x',y' \right)=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \\
&  \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8 \\
& x=2\sqrt{2}\cos \theta -2,y=2\sqrt{2}\sin \theta +2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2}\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}\sin \theta +2 \right)}^{2}}=16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
& x-y=-4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
&  \\
& x'-y'=\frac{32\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{32\left[ -4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \right]}{16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right)}=-8 \\
& x-y+8=0 \\
\end{align}\)

Superconan 發表於 2022-4-24 17:57

回復 5# Ellipse 的帖子

天啊,居然是這樣湊餘弦定理…沒看出來Orz

yuhui1026 發表於 2022-4-24 21:06

填5.我是直接構圖...

Ellipse 發表於 2022-4-24 21:19

[quote]原帖由 [i]yuhui1026[/i] 於 2022-4-24 21:06 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23961&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填5.我是直接構圖... [/quote]
很棒的想法~~

Christina 發表於 2022-4-25 13:02

回復 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,想再請教計算三的(2)

thepiano 發表於 2022-4-25 19:16

回復 12# Christina 的帖子

計算第 3 題 (2)
R 是黃色區域

EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= △OHG 繞 y 軸一圈的體積 - △OEF 繞 y 軸一圈的體積
= 2 個底面 3 高 3 的圓錐體積 - 2 個底面 1 高 1 的圓錐體積
= 2 * ( 9π * 3 - π * 1) * (1/3) = (52/3)π

△OHB 繞 y 軸一圈的體積
= 底面 6 高 6 的圓錐體積
=  36π * 6 * (1/3) = 72 π

R 繞 y 軸一圈的體積
= △OHB 繞 y 軸一圈的體積 - EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= 72 π - (52/3)π
= (164/3)π

Christina 發表於 2022-4-25 23:32

回復 13# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師~~!

satsuki931000 發表於 2022-4-26 10:10

想請問4 6 10

tsusy 發表於 2022-4-26 10:49

回復 15# satsuki931000 的帖子

填充4,由內角和相等可知內角均為 120°
過頂點做與邊之平行線(沒有限定哪在哪裡做)

會將圖形線切成正三角形、平行四邊形,即可得

[attach]6330[/attach]

\( \overline{FA} = 4 +4 = 8\)
\( \overline{EF} = 2 \)
故所求
\( \overline{FA} + \overline{EF} = 10 \)

Ellipse 發表於 2022-4-26 11:10

[quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2022-4-26 10:10 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24004&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問4 6 10 [/quote]
填4 寸絲先回了~
但都已經畫完了,還是放上去好了

tsusy 發表於 2022-4-26 11:10

回復 15# satsuki931000 的帖子

填充6. 我們可以知道此二平行面的距離為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)

接著需要知道正八面體邊長和此平行面距離的比例

幾何作法:取M 為BC 中點,N 為DE 中,三角形ANM中 AM 邊上的高即為兩平行面的距離(修正筆誤AM邊上的高)

坐標:重新另做一個正八面體,頂點坐標為 \( (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a) \),其中 \( \sqrt{2} a \) 為正八面體的邊長
可計算得二平行面得距離為 \( \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} a\)

故可題,此題中邊長為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)

此正八面體的體積為 \( 2 \times \frac13 \times (3 \sqrt{2})^2 \times 3 = 36 \)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2022-4-28 09:49 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2022-4-26 11:29

回復 15# satsuki931000 的帖子

填充 10. 沒有什麼好想法,暫時分三種狀態,用轉移矩陣硬算
狀態1:ABC 各1 人
狀態2:ABC 人數 2,1,0(未依序)
狀態3:ABC 人數 3,0,0(未依序)

認真算一下機率,轉移矩陣寫下來是
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix}^5\:\begin{pmatrix}1\\ \:\:0\\ \:\:0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1823}{8192}\\ \frac{10923}{16384}\\ \frac{1815}{16384}\end{pmatrix}\)

故所求 = \( \frac{1815}{16384} \)

thepiano 發表於 2022-4-26 11:35

回復 15# satsuki931000 的帖子

第 10 題
先算三人都到 A 的機率,再乘以 3

擲 5 次硬幣後
甲移動 6 或 9 個單位可到 A,乙移動 5 或 8 個單位可到 A,丙移動 7 或 10 個單位可到 A

甲移動 6 個單位:擲出 1 個正面、4 個反面,機率 5/32
甲移動 9 個單位:擲出 4 個正面、1 個反面,機率 5/32

乙移動 5 個單位:擲出 0 個正面、5 個反面,機率 1/32
乙移動 8 個單位:擲出 3 個正面、2 個反面,機率 10/32

丙移動 7 個單位:擲出 2 個正面、3 個反面,機率 10/32
丙移動 10 個單位:擲出 5 個正面、0 個反面,機率 1/32

三人都到 A 的情形
(甲,乙,丙)
(6,5,7):機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(6,5,10):機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(6,8,7):機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(6,8,10):機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768
(9,5,7):機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(9,5,10):機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(9,8,7):機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(9,8,10):機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768

總和 = 1210/32768

所求 = (1210/32768) * 3 = 1815/16384

頁: [1] 2

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.