111中壢高中
題目跟解答在二樓[[i] 本帖最後由 Gary 於 2022-4-24 09:47 編輯 [/i]]
回復 1# Gary 的帖子
題目已釋出 1.試求級數\(\displaystyle \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{3^6-64}+\frac{3\cdot 5 \cdot 7}{5^6-64}+\frac{5\cdot 7\cdot 9}{7^6-64}+\ldots+\frac{19\cdot 21 \cdot 23}{21^6-64}\)之和為[u] [/u]。
8.
矩陣\(A=\left[\matrix{11&9 \cr -6&-4} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)，若有兩矩陣\(P\)、\(Q\)且滿足\(\cases{5P+2Q=A \cr P+Q=I_2}\)，且\(A^4=aP+bQ\)，試求\(log_{10}ab\)為[u] [/u]。
設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)[u] [/u]。
(101台中女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463[/url])
我的教甄準備之路 矩陣n次方 請教第 5、7 題 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-24 12:19 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23953&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第 5、7 題 [/quote]
填5
(b+c)² [sin(A/2)]² +(b-c)²[cos(A/2)]² =13²+(8√3)²
整理得b²+c²-2bc{ [cos(A/2)]² -[sin(A/2)]² } =361
b²+c²-2bc*cosA =361
由餘弦定理得a² =361 , a=19
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-24 13:11 編輯 [/i]]
填7
PA和軸的夾角和QA和軸的夾角相同就可以解出來了 想請教第9題，謝謝老師們
回復 7# Christina 的帖子
第9題湊一湊
\(\begin{align}
& z=\frac{32}{x-yi}=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)i \\
& z=\left( x',y' \right)=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \\
& \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8 \\
& x=2\sqrt{2}\cos \theta -2,y=2\sqrt{2}\sin \theta +2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2}\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}\sin \theta +2 \right)}^{2}}=16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta \right) \\
& x-y=-4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta \right) \\
& \\
& x'-y'=\frac{32\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{32\left[ -4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta \right) \right]}{16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta \right)}=-8 \\
& x-y+8=0 \\
\end{align}\)
回復 5# Ellipse 的帖子
天啊，居然是這樣湊餘弦定理…沒看出來Orz 填5.我是直接構圖... [quote]原帖由 [i]yuhui1026[/i] 於 2022-4-24 21:06 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23961&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填5.我是直接構圖... [/quote]
很棒的想法~~
回復 8# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師，想再請教計算三的(2)回復 12# Christina 的帖子
計算第 3 題 (2)R 是黃色區域
EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= △OHG 繞 y 軸一圈的體積 - △OEF 繞 y 軸一圈的體積
= 2 個底面 3 高 3 的圓錐體積 - 2 個底面 1 高 1 的圓錐體積
= 2 * ( 9π * 3 - π * 1) * (1/3) = (52/3)π
△OHB 繞 y 軸一圈的體積
= 底面 6 高 6 的圓錐體積
= 36π * 6 * (1/3) = 72 π
R 繞 y 軸一圈的體積
= △OHB 繞 y 軸一圈的體積 - EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= 72 π - (52/3)π
= (164/3)π
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師～～！ 想請問4 6 10回復 15# satsuki931000 的帖子
填充4，由內角和相等可知內角均為 120°過頂點做與邊之平行線(沒有限定哪在哪裡做)
會將圖形線切成正三角形、平行四邊形，即可得
[attach]6330[/attach]
\( \overline{FA} = 4 +4 = 8\)
\( \overline{EF} = 2 \)
故所求
\( \overline{FA} + \overline{EF} = 10 \) [quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2022-4-26 10:10 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=24004&ptid=3633][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問4 6 10 [/quote]
填4 寸絲先回了~
但都已經畫完了,還是放上去好了
回復 15# satsuki931000 的帖子
填充6. 我們可以知道此二平行面的距離為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)接著需要知道正八面體邊長和此平行面距離的比例
幾何作法：取M 為BC 中點，N 為DE 中，三角形ANM中 AM 邊上的高即為兩平行面的距離(修正筆誤AM邊上的高)
坐標：重新另做一個正八面體，頂點坐標為 \( (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a) \)，其中 \( \sqrt{2} a \) 為正八面體的邊長
可計算得二平行面得距離為 \( \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} a\)
故可題，此題中邊長為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)
此正八面體的體積為 \( 2 \times \frac13 \times (3 \sqrt{2})^2 \times 3 = 36 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2022-4-28 09:49 編輯 [/i]]
回復 15# satsuki931000 的帖子
填充 10. 沒有什麼好想法，暫時分三種狀態，用轉移矩陣硬算狀態1：ABC 各1 人
狀態2：ABC 人數 2,1,0(未依序)
狀態3：ABC 人數 3,0,0(未依序)
認真算一下機率，轉移矩陣寫下來是
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix}^5\:\begin{pmatrix}1\\ \:\:0\\ \:\:0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1823}{8192}\\ \frac{10923}{16384}\\ \frac{1815}{16384}\end{pmatrix}\)
故所求 = \( \frac{1815}{16384} \)
回復 15# satsuki931000 的帖子
第 10 題先算三人都到 A 的機率，再乘以 3
擲 5 次硬幣後
甲移動 6 或 9 個單位可到 A，乙移動 5 或 8 個單位可到 A，丙移動 7 或 10 個單位可到 A
甲移動 6 個單位：擲出 1 個正面、4 個反面，機率 5/32
甲移動 9 個單位：擲出 4 個正面、1 個反面，機率 5/32
乙移動 5 個單位：擲出 0 個正面、5 個反面，機率 1/32
乙移動 8 個單位：擲出 3 個正面、2 個反面，機率 10/32
丙移動 7 個單位：擲出 2 個正面、3 個反面，機率 10/32
丙移動 10 個單位：擲出 5 個正面、0 個反面，機率 1/32
三人都到 A 的情形
(甲，乙，丙)
(6，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(6，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(6，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(6，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768
(9，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(9，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(9，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(9，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768
總和 = 1210/32768
所求 = (1210/32768) * 3 = 1815/16384
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