111中科實中
中科實中題目 [quote]原帖由 [i]Jimmy92888[/i] 於 2022-4-23 21:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23936&ptid=3631][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]中科實中題目 [/quote]
看到那些英文字,腦海想起了大學/研究所的期中/期末考題.....
很明顯的題目由兩位以上教授/老師出題再併題.... 1.
Let \(\displaystyle f(x)=\frac{25^x}{25^x+5}\). Calculate \(\displaystyle f\left(\frac{1}{221}\right)+f\left(\frac{2}{221}\right)+\ldots+f\left(\frac{220}{221}\right)+f\left(\frac{221}{221}\right)=\)[u] [/u]。
我的教甄準備之路 頭尾相加為定值[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489[/url] 填充14
設集合\(A=\{\;1,2,3,4,5,6 \}\;\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有[u] [/u]種。
[解答]
分類討論 20+270+1230+1890=3410
想請教各位老師，是哪個case多算了呢？
回復 4# peter0210 的帖子
我與老師您的方法不同算出的答案也是3410
用你的方法驗算你的各項也正確
回復 4# peter0210 的帖子
填充14.設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有[u] [/u]種
[解答]
3410 +1
依兩兩交集的元素個數分類，剩下的元素可放入恰一個集合包含或均不放入(四種選擇)
(1,1,1)： \( C^6_3 \times 4^3 =1280\)
(2,1,1)： \( C^6_2 C^4_2 \times 4^2 =1440\)
(2,2,1)： \( \frac{C^6_2 C^4_2}{2} C^2_1\times 4 =360\)
(3,1,1)： \( C^6_3 C^3_2 \times 4 =240\)
(4,1,1)： \( C^6_4 C^2_2 =15\)
(3,2,1)： \( C^6_3 C^3_2 C^1_1=60\)
(2,2,2)： \( C^6_2 C^4_2 C^2_2 \times \frac{1}{3!} =15\)
以上總計 3410 填充14
設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有[u] [/u]種
[解答]
另解 14.
設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有[u] [/u]種
[解答]
排容，算式比較精簡，但考場中算不出來，因為數字實在太大 想請教版上老師們填充8和9
謝謝
回覆 9# cyxhola 的帖子
填充第 8 題坐標平面上有一三角形\(ABC\)，直線\(AB\)所在的方程式為\(2x-y+2=0\)，直線\(AC\)所在的方程式為\(2x+y-6=0\)，若\(\Delta ABC\)的外心為\(O(0,-3)\)，且點\(O\)關於\(\overline{AB}\)的對稱點為\(D\)，點\(O\)關於\(\overline{BC}\)的對稱點為\(E\)，點\(O\)關於\(\overline{AC}\)的對稱點為\(F\)，則\(\overline{EF}\)長度為[u] [/u]
[提示]
求出 A 點和 B 點的座標
設 AC 中點 M，BC 中點 N
易知 EF = 2MN = AB
回覆 9# cyxhola 的帖子
第 9 題設\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(\displaystyle z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{10}\)，若\(\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}|\;z^{k+1}-z^k|\;<10^{-20}\)，則最小自然數\(n=\)[u] [/u]
[解答]
Σ|z_(k+1) – z_k|
= Σ|z|^k * |z – 1|
= Σ(3/5)^k * (7/5)
= (5/2)(3/5)^n * (7/5)
(3/5)^n * (7/2) < 10^(-20)
剩下的就簡單了
回覆 10# 11# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師！ 請教填充16 & 計算2 (1)回覆 13# enlighten0626 的帖子
計算2 (1)設\(f(x)=ax^2+bx+c\)為二次實係數多項式，若\(\alpha,\beta\)為\(f(x)=0\)之二實根，且\(\alpha<\beta\)。
而\(g(x)\)領導係數為\(-1\)的三次實係數多項式，且\(g'(\alpha)=g'(\beta)=0\)，則：
(1)若函數\(y=f(x)\)在\(x=2\)有極值為\(-9\)，且\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域面積為36，試求二次函數\(f(x)\)。
(2)承(1)，若函數\(y=g(x)\)的圖形通過坐標原點，且函數\(y=g(x)\)在區間\([-1,0]\)與\(x\)軸圍成的圖形為\(R\)。若將\(R\)繞\(x\)軸旋轉一圈，試求所得到的旋轉體體積。
[解答]
令 f(x) = a(x - 2)^2 - 9 = ax^2 - 4ax + (4a - 9)
令 f(x) = 0 之兩根為 2 - k 和 2 + k
(2 - k)(2 + k) = (4a - 9)/a
ak^2 = 9
∫[ax^2 - 4ax + (4a - 9)]dx (從 2 - k 積到 2 + k) = -36
(2/3)ak^3 - 18k = -36
6k - 18k = -36
k = 3
a = 1
所求 f(x) = x^2 - 4x - 5
回覆 13# enlighten0626 的帖子
第 16 題設\(A(-1,1,3)\)、\(B(1,2,3)\)、\(C(2,0,4)\)、\(D(1,1,1)\)，若平面\(E\)包含\(\overline{AB}\)，且將四面體\(ABCD\)切成兩部分，當平面\(E\)與四面體所截出的截面\(PAB\)的面積有最小值，點\(P\)的坐標為[u] [/u]
[解答]
截面積最小，表示 CD 上的點 P 到 AB 的距離最小
設 PQ 垂直 AB 於 Q
P(2 + t，-t，4 + 3t)、Q(1 + 2s，2 + s，3)
PQ^2 = (t - 2s + 1)^2 + (-t - s - 2)^2 + (3t + 1)^2
= 11t^2 - 2st + 5s^2 + 12t + 6
= 5(s - t/5)^2 + (54/5)(t + 5/9)^2 + 8/3
t = -5/9，s = -1/9 時，PQ 有最小值
此時 P(13/9，5/9，7/3) 感謝鋼琴老師指導 請教老師們填充#11。
回覆 17# 小呆 的帖子
填充 #11回覆 18# Lopez 的帖子
原來如此！非常謝謝Lopez老師的解答！頁:
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