111嘉義高中
如題，考試時間90分鐘。 [quote]原帖由 [i]koeagle[/i] 於 2022-4-23 17:55 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23933&ptid=3630][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]如題，考試時間90分鐘。 [/quote]
填18
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\)，其中\(n \in N\)，則\(a_n\)=[u] [/u](以\(n\)表示)
[解答]
a(n+2)*a(n)+6a(n+2)*a(n+1)=a(n+1)*a(n)
a(n+2)[a(n)+6a(n+1)]=a(n+1)*a(n)
1/a(n+1) +6/a(n)=1/a(n+2) [ 令b(n)=1/a(n) ]
整理得b(n+2)-b(n+1)-6*b(n)=0---------(*)
且b(1)=1----------① ,b(2)=1/2 ----------②
(*)的特徵值x符合 x² -x-6=(x-3)(x+2)=0
解得x=3,-2 ,假設b(n)=c1*3^n+c2*(-2)^n---------③
由①②③ 解出c1=1/6 ,c2= -1/4
整理得 a(n)=1/b(n) = 2 / [ 3^(n-1) +(-2)^(n-1) ] , n∈ℕ
填19
\(x,y \in R\)，則\(\cases{\displaystyle \sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x+y}\right)=2 \cr \sqrt{y}\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=\sqrt{2}}\)之解\((x,y)\)為[u] [/u]
[解答]
1+1/(x+y)=2/√x ----------①
1-1/(x+y)=√2/√y----------②
①²- ②² 得4/(x+y)=4/x- 2/y
整理得x²+xy-2y²=0
(x+2y)(x-y)=0 ,x=y (x= -2y不合∵x,y∈ℝ)
x=y代入①整理得4x²-12x+1=0
解出數對(x,y)=( (3+2√2)/2 , (3+2√2)/2 )
[註:x=y=(3-2√2)/2代入②不合] 16.
設函數\(f(x)=x^2-x\)的圖形為\(\Gamma\)，且\(Q(2,1)\)為\(\Gamma\)外一點，已知過\(Q\)點有兩條直線與\(\Gamma\)相切，求\(\Gamma\)與這兩條直線所圍成的區域面積為[u] [/u]。
求過\(\displaystyle P(\frac{3}{2},3)\)而與拋物線\(\tau\)：\(y=-x^2+4x-3\)相切的二切線與拋物線\(\tau\)所圍區域的面積為[u] [/u]。
(98彰化女中，老王解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1331[/url])
18.
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\)，其中\(n\in \mathbb{N}\)，則\(a_n=\)[u] [/u]。
一個實數數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_{n+1}a_n-5a_{n+2}a_n+6a_{n+2}a_{n+1}=0\)，\(\displaystyle a_1=1\)，\(\displaystyle a_2=\frac{1}{4}\)，求一般項\(a_n=\)[u] [/u]。
(96中一中，[url]https://math.pro/db/thread-1343-1-1.html[/url]) 想請教第10題，謝謝～
回復 4# pipi 的帖子
第 10 題設二次曲線\(\Gamma\)：\(9x^2+16y^2-18x-64y-71=0\)與直線\(L\)：\(2x-5y-10=0\)，若要在\(\Gamma\)上找一點\(P\)使得\(P\)到\(L\)的距離最短，則\(P\)的坐標為[u] [/u]
[解答]
9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0
(x - 1)^2 / 4^2 + (y - 2)^2 / 3^2 = 1
令 P(4cosθ + 1，3sinθ + 2)
P 到 2x - 5y - 10 = 0 的距離 = | 8cosθ - 15sinθ - 18| / √29 要最小
故 8cosθ - 15sinθ = 17
由疊合可知
cosθ = 8/17，sinθ = -15/17
P(49/17，- 11/17) 請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?
解到一半生不出來，還是有其他想法呢?
回復 6# s7908155 的帖子
第 20 題若\(0<p<1\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^3(1-p)^{n-1}p=\)[u] [/u](以\(p\)表示)
[解答]
n^3 = n(n - 1)(n - 2) + 3n(n - 1) + n
再利用
Σp^n = p/(1 - p)
Σnp^(n - 1) = [p/(1 - p)]' = 1/(1 - p)^2
Σn(n - 1)p^(n - 2) = [1/(1 - p)^2]' = 2/(1 - p)^3
Σn(n - 1)(n - 2)p^(n - 3) = [2/(1 - p)^3]' = 6/(1 - p)^4
回復 7# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師，對於C連加會想到要這樣重收。以為是同乘類公比移位消去算S的方式。
原來可以以微分再重新利用sigma拆開，受教了。 [quote]原帖由 [i]s7908155[/i] 於 2022-4-25 10:56 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23976&ptid=3630][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?
解到一半生不出來，還是有其他想法呢? [/quote]
\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分再乘\(x\)，\(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=1\cdot x+2\cdot x^2+3\cdot x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分再乘\(x\)，\(\displaystyle \frac{x^2+x}{(1-x)^3}=1^2 \cdot x+2^2 \cdot x^2+3^2 \cdot x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分，\(\displaystyle \frac{x^2+4x+1}{(1-x)^4}=1^3+2^3\cdot x+3^3 \cdot x^2+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
\(x\)用\(1-p\)代，\(\displaystyle \frac{(1-p)^2+4(1-p)+1}{p^4}=1^3+2^3(1-p)+3^3(1-p)^2+\ldots\)，\(|\;p|\;<1\)
再乘\(p\)，\(\displaystyle \frac{p^2-6p+6}{p^3}=1^3p+2^3(1-p)p+3^3(1-p)^2p+\ldots\)，\(|\;p|\;<1\) [quote]原帖由 [i]s7908155[/i] 於 2022-4-25 10:56 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23976&ptid=3630][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?
解到一半生不出來，還是有其他想法呢? [/quote]
考場時是這樣解，不過再搭配幾何分布，有些東西就不用算這麼久
設[i]X[/i]為幾何分布(試驗成功機率為p)的隨機變數
\(\displaystyle E(X)=\sum^\infty_{n=1}n(1-p)^{n-1}p=\frac{1}{p}\)，\(\displaystyle E(X^2)=\sum^\infty_{n=1}n^2(1-p)^{n-1}p=Var(X)+(E(X))^2=\frac{2-p}{p^2}\)
設\(\displaystyle S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p\)
則\(\displaystyle (1-p)S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n}p=\sum^\infty_{t=2}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{t=1}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{n=1}(n-1)^3(1-p)^{n-1}p\)
所以\(\displaystyle pS=S-(1-p)S=\sum^\infty_{n=1}(n^3-(n-1)^3)(1-p)^{n-1}p=\sum^\infty_{n=1}(3n^2-3n+1)(1-p)^{n-1}p=3E(X^2)-3E(X)+1\)
所以\(\displaystyle S=\frac{1}{p}\frac{6-3p-3p+p^2}{p^2}=\frac{p^2-6p-6}{p^3}\)
想法是從\(\displaystyle \sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p=E(X^3)\)想到要用幾何分布的資訊去推的
說來慚愧，考試時忘了幾何分布的變異數，所以考場當時只能全部重推，結果太緊張仍推錯了 想請教第17題的第四個選項
不知要怎麼解釋正確
謝謝
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17.對於二次曲線，下列敘述何者正確？(全對才給分)[u] [/u]
(1)一動圓與直線\(L\)：\(x=-4\)相切且與圓\(C\)：\(x^2+y^2-6x+5=0\)外切，則此動圓圓心軌跡方程式為一拋物線
(2)一動圓過定點\(A(0,4)\)與圓\(C\)：\(x^2+(y+2)^2=4\)相切，則此動圓圓心軌跡為一橢圓
(3)一動圓過定點\(A(0,4)\)與圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)相切，則此動圓圓心軌跡為一雙曲線
(4)若一雙曲線之一支恰與一拋物線共頂點且共焦點，則此雙曲線的正焦弦長，必大於此拋物線的正焦弦長
(5)與圓\(C_1\)：\(x^2+(y-2)^2=1\)外切且與圓\(C_2\)：\(x^2+y^2=49\)內切之動圓\(C\)的圓心軌跡為一橢圓
[選項4解答]
令雙曲線的貫軸長，共厄軸長，兩焦點距離分別為\(2a,2b,2c\)
所以雙曲線正交弦長為 \(\frac{2b^2}{a}\)；拋物線正焦弦長為\(4(c-a)=4\sqrt{a^2+b^2}-a\)。
比大小:\(\displaystyle \frac{2b^2}{a}-4(\sqrt{a^2+b^2}-a)=2\frac{2a^2+b^2-2a\sqrt{a^2+b^2}}{a}\)
由算幾不等式知
\(2a\sqrt{a^2+b^2}\leq 2a^2+b^2\) 等號不成立
因此 \(\displaystyle \frac{2b^2}{a}-4(\sqrt{a^2+b^2}-a)=2\frac{2a^2+b^2-2a\sqrt{a^2+b^2}}{a}>0\)
故此選項正確
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第17題 選項(4)[img]https://upload.cc/i1/2022/07/03/qp32lz.png[/img] 感謝上面兩位老師!!!
求最小值
[float=right][/float]設 ABCD 為梯形,其中AD // BC且CD=AD=2、∠C=60°,P為CD上一點,直線AP與邊BC之延長線相交於 Q點。則三角形ADP與三角形CQP面積和之最小值為 ()回覆 1# moo 的帖子
111嘉義高中 填充12[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=19186]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=19186[/url]
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