111新竹女中
一、填充題二、計算證明題
1. 證明幾何分布的變異數
2. 目前為0A4B，請給出一個策略並可在三次內完成
3. (待定)
時間90分鐘
進複試門檻：35分 竹女已經上傳官方版
111.4.21補充
將題目移到第一篇文章 寫過最難的一份考卷.....小弟只能拋磚引玉寫幾題會的提供想法給各位參考
2.
令二階方陣\(E_k=\left[\matrix{cosk^{\circ}&sink^{\circ}\cr sink^{\circ}&-cosk^{\circ}}\right]\)，則2022個方陣的乘積\(E_1E_2E_3\ldots E_{2002}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle E_kE_{k+1}\)可以合成一個順時針旋轉\(1^{\circ}\)的旋轉矩陣，共有1011組，取同界角為\(69^{\circ}\)
4.
五邊形\(ABCDE\)，在頂點\(A\)有一隻青蛙，每次青蛙會隨機往一個相鄰的頂點跳躍(也就是往相鄰的機率皆為\(\displaystyle \frac{1}{2}\))，當再跳到\(A\)的時候即停止跳動。則該青蛙跳躍次數的期望值為[u] [/u]。
[解答]
假設從B，E到A的期望值為x C，D到A的期望值為y
可以列式 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+y) , y=\frac{1}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1+y)\)
解得\((x,y)=(4,6)\)
因為從A出發的第一步必得是往B或是E，所以所求為4+1=5
5.
已知平面上三點\(A(8,9)\)、\(B(40,136)\)、\(C(103,90)\)，則在\(\Delta ABC\)內部(不包含邊界)有[u] [/u]個格子點。
[解答]
用皮克定理: \(\displaystyle A=n+\frac{1}{2}S-1\)，其中 S為邊上格子點數量，n為內部格子點數量
這題數字也算是有配好，因為可以發現邊上的格子點，除了頂點外根本沒有，所以S=3
剩下的就只能真的土法煉鋼硬算面積了
\(\displaystyle \frac{9473}{2}=\frac{3}{2}+n-1 \Rightarrow n=\frac{9472}{2}=4736\)
10.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且\(4\vec{IB}+4\vec{IC}=-5\vec{IA}\)，設\(R\)，\(r\)分別為\(\Delta ABC\)的外接圓半徑與內切圓半徑，若\(r=15\)，則
\(R\)之值為[u] [/u]。
[解答]
很笨的方法 直接改寫向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{4}{13}\vec{AB}+\frac{4}{13}\vec{AC}\)
延長\(\displaystyle \overline{AI}\)交\(\overline{BC}\)於D
可得\(\displaystyle \overline{AI}:\overline{ID}=8:5\) ，直接設\(\displaystyle \overline{AI}=8,\overline{ID}=5\)
接下來即可求出邊長比\(\displaystyle a:b:c=5:4:4\)
利用\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}\)，即可求出\(R=32\)
好幾題回去想才發現根本沒那麼難... 90分鐘真的夠趕... 第一題
下圖的積木為索碼立方體中的其中一塊元件，它是由四塊小正方體組成。假設小正方體的邊長為1，則將這個元件平穩地置於桌面上時，它所有可能高度的最大值為[u] [/u]。(下面示意圖的高度為2)
附圖
第九題:
有一台電腦每秒以相同的機率輸出一個數字1或\(-1\)，若令\(p_n\)為輸出的前\(n\)個數字和為3的倍數之機率，則\(p_n\)的一般式為[u] [/u]。(以\(n\)表示)
[答案]
\(p_{n}=\frac{1}{2}(1-p_{n-1})\) 填充第八題
在下圖\(3\times 3\)方格表中，每一個方格均被塗上藍、黃、紅、黑四種顏色之一，相鄰方格不同色，若該方格表中恰有兩格塗上藍色，且藍色不可塗在中間及角落方格上(標號奇數的位置)，則符合條件的著色方法有[u] [/u]種。
１２３
４５６
７８９
[解答]
分享自己的解法 提供參考
題目的黃紅黑很難寫我直接改成ABC應該比較好判讀 計算第 3 題
在正十邊形中，連接其中七條對角線，使其分割成八個互不重疊的三角形，這種分割方式我們將其稱之為正十邊形的三角化。請問在正十邊形中，有幾種三角化的方式，會使得分割出來的八個三角形中恰有一個銳角三角形。
[解答]
那個唯一的銳角三角形，是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論
左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法
故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法，右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法
由於每圖都可旋轉出 10 種，故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法 填充7
平面上的點\(P(x,y)\)滿足
(i)\(x^2\le 1\)；
(ii)從\(P\)點可向\(y=2x^3+6x^2-1\)的圖形作出三條相異切線，
則滿足上述條件之\(P\)點所形成的區域面積為[u] [/u]。
[解答] 填充12.
在正方體\(ABCD-EFGH\)中，\(M\)為\(\overline{GH}\)中點，平面\(AFM\)將正方體分割成體積為\(V_1\)、\(V_2\)的兩部分(其中\(V_1\le V_2\))，則\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\)的值為[u] [/u]。
[解答]
這種題目首要目標就是找出切面方程式\(x-2y+2z=2\)
然後對著每一條邊長找出交點，超過的就畫延長線找交點
這題比去年南女簡單一點不需要找\(y\)軸上的點就可以求體積
最後就是想辦法拿大四面體扣除外面的小四面體了
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{2}\times4\times2\times2\times\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\times2\times1\times1\times\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\) 填充11，取得到面積的最大值嗎？
回復 10# peter0210 的帖子
第11題已知拋物線\(\Gamma\)：\(y^2=x\)與圓\(C\)：\((x-4)^2+y^2=r^2(r>0)\)相交於\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四點。則
(1)\(r\)的範圍為[u] [/u]
(2)四邊形\(PQRS\)面積為最大時，兩對角線\(PR\)、\(QS\)的交點坐標為[u] [/u]。
[提示]
\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{527}}{6}\)時，\(PQRS\)有最大值\(\displaystyle \frac{28}{9}\sqrt{42}\)
回復 8# peter0210 的帖子
請問積分最後的上下界是如何計算的呢? 請問一下老師第6題回復 13# r91 的帖子
第 6 題在凸四邊形\(ABCD\)中，已知\(\angle DAC=12^{\circ}\)、\(\angle CAB=36^{\circ}\)、\(\angle ABD=48^{\circ}\)、\(\angle DBC=24^{\circ}\)，則\(\angle BDC=\)[u] [/u]。
[解答]
見圖 謝謝老師 鋼琴老師上面的圖把角度都標出來了就可以補個角元賽瓦定理
6. 令\(\angle BDC=\theta,\angle ACD=84^\circ-\theta\)
\(\sin36^\circ\sin24^\circ\sin(84^\circ-\theta)\sin84^\circ=\sin12^\circ\sin48^\circ\sin72^\circ\sin\theta\)
套一個\(\displaystyle\sin\theta\sin(60^\circ-\theta)\sin(60^\circ+\theta)=\frac{1}{4}\sin3\theta\)
化簡得\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}\sin72^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\displaystyle\frac{1}{4}\sin36^\circ\sin\theta}=\frac{2\cos36^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin54^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\sin30^\circ\sin\theta}=1\)，易知\(\theta=54^\circ\)
最後半段找\(\theta\)如果需要完整過程就要用積化和差再打開，不麻煩但是填充題不需要
可以問一下第三題怎麼寫嗎？想好久 感謝老師
如題回覆 17# Gary 的帖子
在\(C_0^{2022}\)、\(C_1^{2022}\)、\(C_2^{2022}\)、\(\ldots\)、\(C_{2022}^{2022}\)這2023個數之中，有[u] [/u]個數是3的倍數。[解答]
題目等同詢問 哪些數在模3之下為0
考慮\(2022=(2202220)_3\)，若\(k=(abcdefg)_3\)
則\(\displaystyle C^{2022}_k \equiv C^2_a C^2_b C^0_c \cdots C^0_g (mod 3)\)
若\(c=g=0\)則 \(\displaystyle C^{2022}_k\)必不為3的倍數
即\(a,b,d,e,f\)有\(0,1,2\)三種選法，共有243種
所求為2023-243=1780
請教填充11
板上老師好請問填充11第二小題 有沒有比較快的作法得到對角線交點座標
附件適硬做的過程 不過微分實在是有點複雜 (考場上也是這樣做嗎...)
爾且計算還卡很久
回覆 19# anyway13 的帖子
第 11 題已知拋物線\(\Gamma\)：\(y^2=x\)與圓\(C\)：\((x-4)^2+y^2=r^2(r>0)\)相交於\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四點。則
(1)\(r\)的範圍為[u] [/u]
(2)四邊形\(PQRS\)面積為最大時，兩對角線\(PR\)、\(QS\)的交點坐標為[u] [/u]。
[解答]
參考小弟的做法
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=30575#p30575[/url]
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