111武陵高中
武陵高中原本沒有提供題目答案，後來有另外再補題目答案，
大概是有考生打電話去要求吧~~ 3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有[u] [/u]種。
有多少種\(n\)個數字\(d_n d_{n-1}\ldots d_1,d_i=0,1,\ldots,9,i=1,2,\ldots,n\)的排列，包含偶數個0的排列？(Ex.00030為5個數字的排列，有4個0)
(96中山大學雙週一題，[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/2Q.pdf[/url])
[url]https://math.pro/db/thread-408-1-1.html[/url]
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((9-1)^n+(9+1)^n)=\frac{1}{2}(8^n+10^n)\)
求0, 1, 2, 3所組成的n-序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題，[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008f/3Q.pdf[/url])
[url]https://math.pro/db/thread-626-1-1.html[/url]
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((3-1)^n+(3+1)^n)=\frac{1}{2}(2^n+4^n)\)
5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)[u] [/u]。
[提示]
公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{502}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}=\frac{1}{2}(502-2)=250\)
6.
有一個大正立方體由27個單位正立方體堆疊組成，今有一平面垂直平分大正立方體之內部對角線\(\overline{AG}\)，則該平面會與[u] [/u]個單位正立方體相交。
(1995AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1995_AHSME_Problems/Problem_30[/url])
中文題目下載，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2433[/url] 3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有[u] [/u]種。
[解答]
[img]https://i.imgur.com/2iS02Nn.jpeg[/img]
5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)[u] [/u]。
[解答]
[img]https://i.imgur.com/DxPyPRE.jpg[/img] 請問一下填充第2題 [quote]原帖由 [i]r91[/i] 於 2022-4-20 09:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23865&ptid=3627][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問一下填充第2題 [/quote]
2.
\(a,b,c,x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,x,y,z\)皆為實數，且\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_1&y_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_1&z_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_1&x_1}\Bigg\vert\;\right)=(1,2,3)\)，\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_2&y_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_2&z_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_2&x_2}\Bigg\vert\;\right)=(4,5,6)\)若\(x,y,z\)滿足\(ax+by+cz=0\)，求\(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z\)之最小值[u] [/u]。
[解答]
向量(2,3,1)與向量(a,b,c)垂直
向量(5,6,4)與向量(a,b,c)垂直
解出a:b:c=2: (-1): (-1)
等價改成滿足2x-y-z=0,求(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²-14的最小值
即{｜2+2-3 | /√(2²+1²+1²) }² -14=1/6-14 = - 83/6 請教1.4.9.10，謝謝各位老師 填充10.
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：[u] [/u](以區間記號表達)。
[解答]
101建國中學二招
[url]https://math.pro/db/thread-1457-1-3.html[/url]
由第一式得\(3a+b\ge5c,a+b\le4c\)，第二式得\(c(\ln b-\ln c)\ge a\)
令\(x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\)，\(3x+y\ge5,x+y\le4\)，\(\ln y\ge x\)，\(y\ge e^x\)
所求即\((0,0),(x,y)\)的斜率範圍，令\(y=e^x\)上過原點的切線方程式為\(y-y_0=e^{x_0}(x-x_0)\)
代入\((0,0)\)解得\(y_0=e^{x_0}x_0\)，\(e^{x_0}=e^{x_0}x_0\)，\(x_0=1\)，故\(m=e\)
畫圖即可得所求為\(e\le\frac{b}{a}\le7\)
回復 6# ChuCH 的帖子
第 4 題甲乙兩人比賽桌球，約定比賽進行到有一人比另一人多贏2局，或者打滿6局時比賽結束。設甲在每局中獲勝的機率均為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負互不影響。則比賽結束時，已賽局數\(X\)的期望值\(E(X)=\)[u] [/u]。
[解答]
有一人比另一人多贏 2 局，表示比賽結束時，只可能比了 2 或 4 或 6 局
(1) 比 2 局結束
機率 = (3/4)^2 + (1/4)^2 = 10/16
(2) 比 4 局結束
前 4 局贏的順序如下
甲乙甲甲
甲乙乙乙
乙甲甲甲
乙甲乙乙
機率 = (3/4)^3 * (1/4) * 2 + (1/4)^3 * (3/4) * 2 = 60/256
(3) 比 6 局結束
前 4 局贏的順序如下，這些情況都要比到六場
甲乙甲乙
甲乙乙甲
乙甲甲乙
乙甲乙甲
機率 = (3/4)^2 * (1/4)^2 * 4 = 36/256
所求 = (10/16) * 2 + (60/256) * 4 + (36/256) * 6 = 97/32
回復 6# ChuCH 的帖子
第 10 題已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：[u] [/u](以區間記號表達)。
[解答]
十年前寫過，...... 9.
將方程式\(y^4-2xy^2+2x^2-4=0\)圖形所圍成的封閉區域繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體體積為[u] [/u]。
[解答]
中間圖形是用geogebra畫的
知道曲線誰在誰上方就可以畫出大概的圖了
[img]https://i.imgur.com/7IwKZDI.jpg[/img] 提供計算題第1和第3題參考
看有沒有人可以補充第2題
回復 6# ChuCH 的帖子
第 1 題把 y = |x^2/2 - 1| 的圖形畫出來
若圓 x^2 + (y - a)^2 = r^2 要與它恰交於 3 三點
則其中一點必是 (0，1)
代入可得 (1 - a)^2 = r^2
x^2 = (1 - a)^2 - (y - a)^2
y = x^2/2 -1
x^2 = 2y + 2
y 的方程式 (1 - a)^2 - (y - a)^2 = 2y + 2 恰有一解
利用判別式，可得 a = 4 填充6
有一個大正立方體由27個單位正立方體堆疊組成，今有一平面垂直平分大正立方體之內部對角線\(\overline{AG}\)，則該平面會與[u] [/u]個單位正立方體相交。
[解答] [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2022-4-21 10:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23890&ptid=3627][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
提供計算題第1和第3題參考
看有沒有人可以補充第2題 [/quote]
有聽朋友說 計算第二題很像110南女的計算題
不知道是否有老師可以補上武陵計算二的細節，謝謝。
附圖為110南女的計算題
回復 11# johncai 的帖子
請教老師計算題第一題我算最小值為-73
不知是否正確
謝謝
回復 15# three0124 的帖子
偏微做出來也是這個答案 感謝前面老師分享計算題因為武陵提供的填充題排版有點跑掉，第 9 題應該在第三頁最上方
有強迫症的我，重打一份，且後面加上老師們提供的計算題，
並盡量還原成初試當下的排版(B4一張兩頁)，供各位老師參考
計算第 2 題的圖花了我許多時間，所以第 6 題和第 7 題的圖就直接截圖，暫且不重畫了
如果打字有誤，或老師們有計算題更完整的敘述，可以再跟我說
備註：可能有老師想要印成 A4 練習，因此一併提供 A4 版本給老師們參考 計算一
設\(x,y \in R\)，試求\(24x^4+y^2-8x^2y-40x^2-2y\)的最小值。
[解答] 請問填充7
回覆 19# Chen 的帖子
填充7\(\vec{u}\)與\(\vec{v}\)的夾角為\(\theta\)，\(\vec{u}\)與\(\vec{w}\)的夾角為\(\alpha\)，且\(|\;\vec{u}|\;=|\;\vec{v}|\;=|\;\vec{w}|\;\)，
若\(\vec{w}=f(\theta,\alpha)\vec{u}+g(\theta,\alpha)\vec{v}\)，試求\(f(\theta,\alpha)+g(\theta,\alpha)=\)[u] [/u]。
[解答]
[img]https://upload.cc/i1/2022/05/19/6RJHqy.png[/img]
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