111家齊高中
家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～ 填充題
4.
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)[u] [/u]。
計算題
2.
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
\(\sqrt{(x^2-5)^2+(x-3)^2}+\sqrt{(x^2-2)^2+(x-0)^2}\)
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url] [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-18 15:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23810&ptid=3626][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了
而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～ [/quote]
很欣賞家齊高中~其他不敢公布考題的學校要精進一下
計算2:
原式=2(cotA+cotB+cotC)
證明cotA+cotB+cotC>=√3
(後面是骨董級的考古題了...)
這只是其中一種證法
我乍看之下,這題證法至少三種以上... 計算5
求\(7x^2+6y^2=5z^2\)的整數解。
[解答]
若\((x,y,z)\)為一組解，三數皆非0，並假設其互質
\(7x^2+6y^2\equiv 5z^2\pmod{5}\)
\(\Rightarrow 2x^2+y^2\equiv 0\pmod{5}\)
\(\Rightarrow x^2\equiv y^2\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow x\equiv y\equiv 0\pmod{5}\)
代回原式，可得\(x\equiv y\equiv z\equiv 0\pmod{5}\)(與假設不合)
故\((x,y,z)\)至少有一數為\(0\Rightarrow (x,y,z)\)只有一組解\((0,0,0)\)
[img]https://i.imgur.com/FxDZ04G.jpg[/img] 第9題的題目中的P點要改成A。考試期間有訂正過一次題目 7
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)，\(\displaystyle cos(B-C)=\frac{2}{3}\)，則\(\overline{BC}\)為[u] [/u]
[提示]
題目數據出得有點可惜
這樣一看∠B=90度,就變秒殺題了 請問填2，4，10
回復 7# nnkuokuo 的帖子
填充第 2 題設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)[u] [/u]
[提示]
跟 107 北一女代理這題差不多
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2999&page=1#pid18935[/url] 填充2
設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)[u] [/u]
[解答]
[img]https://i.imgur.com/h9dCk3W.jpg[/img] 填充10
試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為[u] [/u]
[解答]
計算量有點多...
回復 7# nnkuokuo 的帖子
填充第 4 題設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)[u] [/u]。
[解答]
BD = 4√5，DM = 2√5
利用 △DMF 和 △DCB 相似，可求出 DF = 5，CF = 3
摺起來後 △CMD 是等腰直角三角形
摺起來後的 CD = 2√10
最後利用餘弦定理就可求出 cosθ
回復 7# nnkuokuo 的帖子
填充10試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為[u] [/u]
[解答]
可以用Pappus 定理
\( \displaystyle -x^2-3x+6 = -x+3 \; \Rightarrow \; x = -3,1 \quad , \quad A = \int_{-3}^{1} [(-x^2-3x+6) - (-x+3)] dx = \frac{32}{3} \)
\( \displaystyle \overline{X} = \frac{ \displaystyle \int \int x dA }{ \displaystyle \int \int dA } = \frac{1}{A} \int_{-3}^{1} (-x^3 - 2x^2 + 3x) dx = \frac{ \displaystyle -\frac{32}{3} }{ \displaystyle \frac{32}{3} } = -1 \)
\( \displaystyle V = A \times 2\pi R = \frac{32}{3} \times 2 \pi \times [2 - (-1)] = 64\pi \)
請問第12題
第12題怎樣算？回復 13# son249 的帖子
總共有28種不能連成一條線的情況用全部扣掉不能的就可以了 計算2
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
常見的考古題
計算3
銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。
[提示]
小弟是用琴生不等式求\(\displaystyle cotA+cotB+cotC\)的最小值的，還想請教有無其他方法
計算4
當\(0<x<1\)時，\(x^2+ax+4\ge 0\)恆成立，試求\(a\)的範圍。
[解答]
改寫成\(\displaystyle a\leq -x-\frac{4}{x}\)，設\(\displaystyle f(x)=-x-\frac{4}{x}\)
畫圖可知 \(\displaystyle x\in(0,1)\)時，\(f(x)<-5 \)
也就是取\(\displaystyle a \geq -5\)
計算4
銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。[解答]
另一種算法
回復 16# son249 的帖子
搭配到外森比克不等式 厲害 受教了 請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？回復 18# Harris 的帖子
第 11 題已知\(abc\ne 0\)，且\(\displaystyle \frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}\)，試求\(\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\)[u] [/u]
[解答]
2b + c = ak
2c + a = bk
2a + b = ck
3(a + b + c) = (a + b + c)k
k = 3 或 a + b + c = 0
a + b = - c，b + c = - a，c + a = - b 代入求值式的分子 填充12
將\(1,2,3,4,5,6,7,8,9\)共九個數字任意填入九宮格中，數字不可重複，則5個奇數至少有3個可以連成一直線(例如：下圖2種情形皆可)的機率為[u] [/u]
[解答]
補一下過程