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Superconan 發表於 2022-4-18 15:15

111家齊高中

家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了
而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～

bugmens 發表於 2022-4-18 16:02

填充題
4.
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)[u]　　　[/u]。

計算題
2.
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
\(\sqrt{(x^2-5)^2+(x-3)^2}+\sqrt{(x^2-2)^2+(x-0)^2}\)
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url]

Ellipse 發表於 2022-4-18 21:06

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-18 15:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23810&ptid=3626][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了
而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～ [/quote]
很欣賞家齊高中~其他不敢公布考題的學校要精進一下

計算2:
原式=2(cotA+cotB+cotC)
證明cotA+cotB+cotC>=√3
(後面是骨董級的考古題了...)

這只是其中一種證法
我乍看之下,這題證法至少三種以上...

sliver 發表於 2022-4-18 21:34

計算5
求\(7x^2+6y^2=5z^2\)的整數解。
[解答]
若\((x,y,z)\)為一組解，三數皆非0，並假設其互質

\(7x^2+6y^2\equiv 5z^2\pmod{5}\)
\(\Rightarrow 2x^2+y^2\equiv 0\pmod{5}\)
\(\Rightarrow x^2\equiv y^2\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow x\equiv y\equiv 0\pmod{5}\)
代回原式，可得\(x\equiv y\equiv z\equiv 0\pmod{5}\)(與假設不合)

故\((x,y,z)\)至少有一數為\(0\Rightarrow (x,y,z)\)只有一組解\((0,0,0)\)
[img]https://i.imgur.com/FxDZ04G.jpg[/img]

basess8 發表於 2022-4-18 22:52

第9題的題目中的P點要改成A。考試期間有訂正過一次題目

Ellipse 發表於 2022-4-19 00:01

7
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)，\(\displaystyle cos(B-C)=\frac{2}{3}\)，則\(\overline{BC}\)為[u]　　　[/u]
[提示]
題目數據出得有點可惜
這樣一看∠B=90度,就變秒殺題了

nnkuokuo 發表於 2022-4-19 20:25

請問填2，4，10

thepiano 發表於 2022-4-19 21:14

回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充第 2 題
設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)[u]　　　[/u]
[提示]
跟 107 北一女代理這題差不多
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2999&page=1#pid18935[/url]

sliver 發表於 2022-4-19 21:14

填充2
設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)[u]　　　[/u]
[解答]
[img]https://i.imgur.com/h9dCk3W.jpg[/img]

peter0210 發表於 2022-4-19 21:22

填充10
試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為[u]　　　[/u]
[解答]
計算量有點多...

thepiano 發表於 2022-4-19 21:46

回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充第 4 題
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
BD = 4√5，DM = 2√5
利用 △DMF 和 △DCB 相似，可求出 DF = 5，CF = 3

摺起來後 △CMD 是等腰直角三角形
摺起來後的 CD = 2√10

最後利用餘弦定理就可求出 cosθ

koeagle 發表於 2022-4-19 23:43

回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充10
試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為[u]　　　[/u]
[解答]
可以用Pappus 定理

\( \displaystyle -x^2-3x+6 = -x+3 \; \Rightarrow \; x = -3,1 \quad , \quad  A = \int_{-3}^{1} [(-x^2-3x+6) - (-x+3)] dx = \frac{32}{3} \)

\( \displaystyle \overline{X} = \frac{ \displaystyle \int \int x dA }{ \displaystyle \int \int dA } = \frac{1}{A} \int_{-3}^{1} (-x^3 - 2x^2 + 3x) dx = \frac{ \displaystyle -\frac{32}{3} }{ \displaystyle \frac{32}{3} } = -1 \)

\( \displaystyle V = A \times 2\pi R = \frac{32}{3} \times 2 \pi \times [2 - (-1)] = 64\pi \)

son249 發表於 2022-4-20 23:11

請問第12題

第12題怎樣算？

pretext 發表於 2022-4-21 00:22

回復 13# son249 的帖子

總共有28種不能連成一條線的情況
用全部扣掉不能的就可以了

satsuki931000 發表於 2022-4-21 19:28

計算2
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
常見的考古題

計算3
銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。
[提示]
小弟是用琴生不等式求\(\displaystyle cotA+cotB+cotC\)的最小值的，還想請教有無其他方法

計算4
當\(0<x<1\)時，\(x^2+ax+4\ge 0\)恆成立，試求\(a\)的範圍。
[解答]
改寫成\(\displaystyle a\leq -x-\frac{4}{x}\)，設\(\displaystyle f(x)=-x-\frac{4}{x}\)
畫圖可知 \(\displaystyle x\in(0,1)\)時，\(f(x)<-5 \)
也就是取\(\displaystyle a \geq -5\)

son249 發表於 2022-4-21 20:33

計算4

銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。
[解答]
另一種算法

satsuki931000 發表於 2022-4-21 21:04

回復 16# son249 的帖子

搭配到外森比克不等式 厲害 受教了

Harris 發表於 2022-4-22 11:12

請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？

thepiano 發表於 2022-4-22 11:21

回復 18# Harris 的帖子

第 11 題
已知\(abc\ne 0\)，且\(\displaystyle \frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}\)，試求\(\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\)[u]　　　[/u]
[解答]
2b + c = ak
2c + a = bk
2a + b = ck

3(a + b + c) = (a + b + c)k
k = 3 或 a + b + c = 0
a + b = - c，b + c = - a，c + a = - b 代入求值式的分子

peter0210 發表於 2022-4-22 14:16

填充12
將\(1,2,3,4,5,6,7,8,9\)共九個數字任意填入九宮格中，數字不可重複，則5個奇數至少有3個可以連成一直線(例如：下圖2種情形皆可)的機率為[u]　　　[/u]
[解答]
補一下過程

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