111高雄女中
雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！-----------------------
感謝swallow7103 老師提供大部分題目
小弟把題目彙整成pdf檔案,方便大家討論!
如果有打錯再跟我說!
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備註： 筆試最低錄取37分 [quote]原帖由 [i]yosong[/i] 於 2022-4-17 18:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23784&ptid=3624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！ [/quote]
#2 考古題: 利用科西不等式~~ 依往例雄女不曾公布題目，趁記憶猶新來跟大家分享。
※共14題計算證明題，1~12每題7分，13、14各8分。
1.數列\(<a_n> \)滿足\(a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{16} (1+4a_n +\sqrt(1+24a_n)) , \forall n \in \mathbb{N} \)，試求\( a_n\)的一般式。
2.設\( x_1, x_2, x_3, ..., x_n\)均為正實數，且\( \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k}=48, \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k^2}=36, \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k^3}=27 \)，求\( n \)。
3.方程式\( x^8+ax^4+1=0\)有四實根四虛根，且四個實根成等差數列，求\( a \)。
4.方程式\( (x^2+4x+3)^2 + k=0 \) 有一正根一負根及二虛根，試求\( k \)的範圍。
5.\[ \lim\limits_{m \to \infty} \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{1+ \root n \of {1^n + 2^n} + \root n \of {2^n + 3^n} + \dots +\root n \of {(m-1)^n + m^n} }{m^2}] = ？\]
6.請問函數\( y=x^2\)和 \( y= 2x + 15 \)所圍的區域在 \( x=t \)和 \( x=t+1 \)間面積的最大值為何？
7.設\( f(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_a^x (2t-1)(t-2)^2 \mathrm{d} t \)，令 \( f(a) \)的極大值 \( M \)和極小值 \( m \)，求\( (M, m) \)。
8.拋物線\( y=x^2+1 \)和\( y=-(x-1)^2 \)的兩條公切線和兩圖形切於4個相異點，請問此4點所圍成的四邊形面積為何？
9.\( \Delta ABC\)的重心為\( G \)，過\( G \)作一直線分別交\( AB \)、\( AC \)於\( P, Q \)，請證明\( \Delta APQ \)的面積至少為\( \Delta ABC \)的九分之四。
10.(題目的數據太複雜，算完就忘了XD，以下僅提供大意)
令\( B \)是一個可對角化的\( 3 \times 3 \)矩陣且eigenvalues分別為\( 1, 1, 2 \)，令\( B^n \)的9個元素分別為\( a_1, a_2, a_3, \dots, a_9 \)，其中\( a_5 \)在正中間。計算
\[ \lim\limits_{n \to \infty } \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_9}{a_5} =？ \]
11.\( log_2 (x^2 + 20x) - log_2 (4x-3a-\frac{3}{2}) = 1 \)的\( x \)有唯一解，求\( a \)的範圍。
12.設\( cos\theta = \frac{1}{3} \)，令\( a_n = 3^n cos n\theta\)，證明 \( \forall n \in \mathbb{N} \)，\( a_n \)必為整數且不為3的倍數。
13.在 \( \Delta ABC \) 的\( AB, AC \)上各取一點 \( m, n \)，使得\( MB=BC=CN \)。令\( \Delta ABC \)的外接圓半徑、內切圓半徑分別為\( R, r \)，試求\( \frac{MN}{BC} \)。
14.(考場中沒想法所以沒寫，數字不太確定)
設\( x \geq y \geq z \geq w \geq 0 \)，\( 5x+4y+3z+6w=2013 \)，求\( x+y+z+w \)的最大值及最小值。
如有誤植還請各位網友不吝指正。
回復 2# Ellipse 的帖子
請教橢圓老師，用柯西大概要怎麼做呢？我都只得到一些n的範圍，求不出確切的值，想了一段時間還是沒頭緒回復 4# yosong 的帖子
\( \displaystyle((x_1^{\frac{1}{2}})^2+(x_2^{\frac{1}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{1}{2}})^2)((x_1^{\frac{3}{2}})^2+(x_2^{\frac{3}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{3}{2}})^2)\geq (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^2 \)因為 \(48\times 27=36^2 \)，等號成立，所以\( \displaystyle \frac{x_1^{\frac{3}{2}}}{x_1^{\frac{1}{2}}}= \frac{x_2^{\frac{3}{2}}}{x_2^{\frac{1}{2}}}=\cdots \frac{x_n^{\frac{3}{2}}}{x_n^{\frac{1}{2}}}=t \) 可以得到\( x_1^2=x_2^2=\cdots=x_n^2=t\)
再帶回去運算就可以解了..
看到橢圓老師的提示才想到怎麼做…我自己還在裡面亂推公式..
回復 5# zidanesquall 的帖子
原來是這樣-.-我有寫出這條，但是竟然沒有往等號成立的方向走，謝謝解惑回復 3# swallow7103 的帖子
最後一題是5x+4y+3z+6w=2013回復 7# cut6997 的帖子
感謝告知，已更正。 #14 也算是考古題了(1)當x=y=z= 671/4 ,w=0時
x+y+z+w有最大值2013/4
(1)當x=2013/5 ,y=z=w=0時
x+y+z+w有最小值2013/5 想請教各位老師~第1,2題的解法。謝謝
回復 10# yuen1008 的帖子
第 1 題令 b_n = √(1 + 24a_n) > 0
a_n = [(b_n)^2 - 1] / 24
代入原式整理可得
2b_(n+1) = b_n + 3
b_n = 3 + [(1/2)^(n - 2)]
剩下的就簡單了
回復 11# thepiano 的帖子
謝謝！好厲害的方法！ 1.數列\(\langle a_n \rangle \)滿足\(\displaystyle a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{16} (1+4a_n +\sqrt{1+24a_n}) , \forall n \in \mathbb{N} \)，試求\( a_n\)的一般式。
(109中科實中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480[/url])
回復 2# Ellipse 的帖子
請問第6題回復 14# 新手老師 的帖子
第 6 題所圍區域的邊界上方是 y = 2x + 15
要積分的函數是 y = 2x + 15 - x^2
它在 x = 1 時有最大值
故 x 從 1/2 積到 3/2 時，面積有最大值
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-19 20:41 編輯 [/i]]
回復 15# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師! [quote]原帖由 [i]新手老師[/i] 於 2022-4-19 20:21 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23846&ptid=3624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問第6題 [/quote]
∫ {t to t+1} (2x+15-x^2)dx
= -t^2+t+47/3
當t=1/2時,所求有最大值191/12
用GGB驗證一下答案如下
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-19 23:27 編輯 [/i]]
#12
這題目前還沒人問但其實頗有難度，解題過程也很漂亮，小弟分成兩步驟，解如下：(1) 證明：\( \cos (n+2)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta -\cos n\theta \)。
利用和差角公式，計算可得\( \cos (n+1+1)\theta + \cos (n+1-1)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta \)。
(2)計算\( a_1 = 3 \times \cos\theta =3 \times \frac{1}{3} =1, a_2 = 3^2 \times \cos 2\theta =9 \times (-\frac{7}{9}) = -7, a_3 = 3^3 \times \cos 3\theta =27 \times (4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3}) = -23 \)
，所以 \(a_1, a_2, a_3 \)皆為不被3整除的整數。
假設\( a_{k+1}, a_k \)均為不被3整除的整數，利用(1)得到的 cos 遞迴式，可得
\( a_{k+2} = 3^{k+2} \cos (k+2)\theta
= 3^{k+2} (2\cos \theta \cos (k+1)\theta -\cos k\theta)
= 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3^{k+1} \cos (k+1)\theta - 9 \times 3^k \cos k\theta
= 2a_{k+1} - 9a_{k} \)，因\( a_{k+1}, a_k \)均為整數，故\( a_{k+2} \)也是整數，又因
\( 9a_{k}\)為3的倍數，但\( 2, a_{k+1} \)皆不是3的倍數，故\( a_{k+2} \)也不是3的倍數，因此由數學歸納法得證。
如有錯誤或其他解法，請不吝指正或分享，感恩！
[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 [/i]]
想請問第十三題
想請教第十三題，非常謝謝！回復 19# q1214951 的帖子
第 13 題2005 APMO Problem 5
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