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贏家永遠有兩個競爭者:
一是時間、一是自己。

swallow7103 發表於 2022-4-16 09:00

111台中一中

晚點應該會有官方版的題目,
經過一晚的慘烈廝殺,睡夢中仍在思考如何解題,因此先把計算題寫上來跟各路高手請教。

計算一
有一四面體   \( P-ABC \) ,已知 \( \overline{PA} 和\Delta ABC\) 所在的平面垂直,且\( \overline{PA}=\overline{AB}=2\)。自\( A點作\overline{PC}、\overline{PB} \)的垂線,垂足分別為\(E、F \)。若\( \Delta ACB \)是一個直角三角形且 \( \angle C=90^{\circ},令\angle CPB=\theta \),問:
(1) \( \Delta \text{AEF}\)的最大面積為何?
(2)承上,此時\( \tan(\theta)=? \)

計算二
拋物線\( y^2=6x \)上有相異二點\( A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)\),且\(x_1+x_2=4 \),作\( \overline{AB} \)的垂直平分線交 \(x軸於C \),請問:
(1) \( \text{C} \)的座標。
(2) 設\( M(x_0,y_0) 是\overline{AB} \)的中點,請問 \( y_0\)的範圍為何?
(3) 求\( \Delta \text{ABC}的最大面積。 \)

peter0210 發表於 2022-4-16 14:40

第四題

bugmens 發表於 2022-4-16 14:44

一、填充題甲
3.
已知數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\),首項\(\displaystyle a_1=\frac{1}{4}\),且滿足\(a_n+3S_nS_{n-1}=0(n\ge 2,n\in N)\),則\(\displaystyle \frac{1}{S_{2022}}=\)[u]   [/u]。
[提示]
看到\(S_n\),想到\(a_n=S_n-S_{n-1}\)
我的教甄準備之路 求數列一般項,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507[/url]

二、填充題乙
1.
設\(A_1A_2\ldots A_{111}\)為一單位圓的內接正111邊形,且\(P\)為此單位圓上任一點。試求\(\overline{PA_1}\times \overline{PA_2}\times \ldots \overline{PA_{111}}\)的最大值為[u]   [/u]。

3.
已知\(\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k\cdot 2^k}{(k+1)\cdot(k+2)}\),\(\displaystyle B_n=\sum_{k=1}^n 2^k\),\(n\in N\),求滿足\(|\;(n+2)A_n-B_n|\;>2022\)之最小自然數\(n=\)[u]   [/u]。

4.
設一數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1\),\(a_{n+1}>a_n(n\in N)\)且\((a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)\)。令\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\),試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=\)[u]   [/u]。

數列 \(\left\{a_n\right\}\) 中,已知 \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} > {a_n}\),且 \(a_{n + 1}^2 + a_n^2 + 4 = 2{a_{n + 1}}{a_n} + 4{a_{n + 1}} + 4{a_n}\),則一般項  \({a_n} = ?\)
(98師大附中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=735&page=1#pid1261[/url])

7.
設\(a>0,b>0,c>0\),求\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}+17\)的最小值為[u]   [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278[/url]

peter0210 發表於 2022-4-16 15:30

二、填充2

thepiano 發表於 2022-4-16 16:10

回復 1# swallow7103 的帖子

計算第 2 題
(1)
\(\begin{align}
  & 直線 AB:y=mx+n \\
& {{\left( mx+n \right)}^{2}}=6x \\
& {{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( 2mn-6 \right)x+{{n}^{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2mn-6}{{{m}^{2}}}=4 \\
& n=\frac{3}{m}-2m \\
& y=mx+\frac{3}{m}-2m \\
\end{align}\)
\(\overline{AB}\)中點為\(M\left( 2,\frac{3}{m} \right)\)
垂直平分線:\(y-\frac{3}{m}=-\frac{1}{m}\left( x-2 \right)\)交\(x\)軸於\(C\left( 5,0 \right)\)
(2)
\(\begin{align}
  & {{y}_{0}}=\frac{3}{m} \\
& {{\left( 2mn-6 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}{{n}^{2}}>0 \\
& mn<\frac{3}{2} \\
& m\left( \frac{3}{m}-2m \right)<\frac{3}{2} \\
& m>\frac{\sqrt{3}}{2},m<\text{-}\frac{\sqrt{3}}{2} \\
& -2\sqrt{3}<{{y}_{0}}<2\sqrt{3} \\
\end{align}\)
(3)
直線\(AB\)交\(x\)軸於\(D\left( -\frac{n}{m},0 \right)\)
\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & {{y}^{2}}=6x \\
& y=mx+n \\
\end{align} \right. \\
& {{y}^{2}}=6\left( \frac{y-n}{m} \right) \\
& m{{y}^{2}}-6y+6n=0 \\
& {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=\frac{6}{m},{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{6n}{m} \\
& \Delta ABC=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\sqrt{{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}-4{{y}_{1}}{{y}_{2}}} \\
& =3\left( 1+\frac{1}{{{m}^{2}}} \right)\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\
&  \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
  & t=\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\
& \frac{1}{{{m}^{2}}}=\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \\
& \Delta ABC=3\left( 1+\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \right)t=-\frac{{{t}^{3}}}{3}+7t \\
\end{align}\)
最大值為\(\frac{14}{3}\sqrt{7}\)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-16 16:17 編輯 [/i]]

swallow7103 發表於 2022-4-16 16:38

回復 4# peter0210 的帖子

感謝第4題神提點,不然想破頭還是做不出來

填充(乙)第2題
作 \( \Delta BNC \)的外接圓後,由弦切角、圓周角可知\( \Delta ABN \)~\( \Delta ACB\)
故 \( \frac{AN}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}\),
因此,令\( \overline{AC} =5a \),可得\( \overline{AB}=4a \)、\( \overline{AN}=\frac{16a}{5}\)
再搭配孟氏定理\( \frac{BD}{CD} \times \frac{CA}{AN} \times \frac{MN}{BM} =1 \)  可得所求。

[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-16 16:40 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2022-4-16 17:20

回復 1# swallow7103 的帖子

計算第 1 題
(1)
關鍵是先說明 △AEF 是直角三角形 (∠E 是直角)
AF = √2,故 AE = EF = 1 時,△AEF 面積有最大值 1/2

(2)
求出 AC = 2/√3, PC = 4/√3,BC = 2√2/√3
又 PB = 2√2
故 △PCB 是直角三角形 (∠C 是直角)
tanθ = BC / PC = √2/2

peter0210 發表於 2022-4-16 19:00

二、填充3

peter0210 發表於 2022-4-16 19:12

二、填充4

peter0210 發表於 2022-4-16 19:59

二、填充6

peter0210 發表於 2022-4-16 20:09

二填充7

PDEMAN 發表於 2022-4-16 20:18

甲填充1
乙填充1,5

[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-17 22:09 編輯 [/i]]

yosong 發表於 2022-4-16 23:27

填充(甲)第三題

提供自己的解法,有問題請不吝指教

anyway13 發表於 2022-4-17 01:11

請教第四題

版上老師好

請問第四題 Petet0210老師有提到根據阿波尼斯圓  得到E(1,0)

然後 在將網路上有關阿波尼斯圓的定理拜讀一遍 [url]https://kknews.cc/zh-tw/news/89n83zn.html[/url]

可是一值和定理兜不上  (腦袋打結了)  請問這道題  這裡的A(16,0) B(0,5) C(0,0) 哪兩個是指 [url]https://kknews.cc/zh-tw/news/89n83zn.html[/url] 文章中所說的定點

不然  死記方法得E  畢竟沒搞懂

PDEMAN 發表於 2022-4-17 08:51

回復 15# anyway13 的帖子

參考。 是先考慮E點 之後利用阿波羅尼斯圓 (也就為了利用阿波羅尼斯圓造出E點

[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-17 09:04 編輯 [/i]]

PDEMAN 發表於 2022-4-17 08:54

回復 13# yosong 的帖子

我看了一下,您要不要在檢查一遍?

yosong 發表於 2022-4-17 12:28

回復 17# PDEMAN 的帖子

抱歉我把後面寫的-1看成虛部,老師您是正確的!我刪除了

[[i] 本帖最後由 yosong 於 2022-4-17 12:32 編輯 [/i]]

anyway13 發表於 2022-4-17 19:42

回復 15# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師  小弟再好好想想

poemghost 發表於 2022-4-17 20:29

回復 12# PDEMAN 的帖子

乙填充的第5題,
請問如何保證 2∠A、2∠B、2∠C 總和會是180° (可形成三角形)?
一開始在作三角代換時
∠A、∠B、∠C 應該只能限制在 0°~90°
那兩倍之後,角度和就不一定會是 180° 了

PDEMAN 發表於 2022-4-17 21:16

回復 19# poemghost 的帖子

感謝提問,已經把cot改成tan

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