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心胸有多大,舞台就有多大 。

enlighten0626 發表於 2022-4-18 11:41

請教填充甲第二題

thepiano 發表於 2022-4-18 12:49

回復 21# enlighten0626 的帖子

填充甲 第 2 題
△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)

同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)

最後用正弦定理可求出 PA^2:PB^2:PC^2 = 19:7:13

Jimmy92888 發表於 2022-4-18 12:51

回復 21# enlighten0626 的帖子

過P點做平行三邊的平行線,會將三角形切割成三個正三角形與三個平行四邊形,利用餘弦定理得,
PA^2=2^2+3^2-2*2*3*cos120°=19
PB^2=2^2+1^2-2*2*1*cos120°=7
PC^2=1^2+3^2-2*1*3*cos120°=13

enlighten0626 發表於 2022-4-18 20:41

謝謝以上老師的回覆

satsuki931000 發表於 2022-4-18 22:34

回復 15# PDEMAN 的帖子

感謝PDEMAN老師的作法 讓小弟恍然大悟
這邊容小弟詳細整理做法

反正重點就是,在y軸上找一個E點
讓題目給的圓軌跡\(\displaystyle x^2+y^2=16\)變成一個滿足\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1\)的阿波羅圓,由上面PDEMAN老師的圖形可以看出所求E為(0,1)

以下為驗算,考場可以不需要做這步
設\(\displaystyle D(x,y)\),有\(\displaystyle \overline{AD}^2=16\overline{DE}^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+(y-16)^2=16[x^2+(y-1)^2]\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=16\) 符合題目給的圓軌跡
所以圓上任一D點滿足
\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1 \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AD}=\overline{DE}\)

之後就有最一開始Peter老師的寫法
所求為
\(\displaystyle \frac{1}{4}\overline{AD}+\overline{BD}=\overline{BD}+\overline{DE}\geq\overline{BE}=\sqrt{26}\)

[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2022-10-9 13:46 編輯 [/i]]

lisa2lisa02 發表於 2022-4-19 10:29

想請教各位老師填充8、9,謝謝!

thepiano 發表於 2022-4-19 13:24

回復 26# lisa2lisa02 的帖子

第 9 題
把質數由小到大依序排列,第 14 個是 43,第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方,則這 15 個數兩兩互質且其中無質數

接著證明,從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數,則此 16 個數中,必至少有一個質數

假設這 16 個兩兩互質的數中,沒有質數

(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數,分別是 a_1 ~ a_15,且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209,不合

(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)

故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數,則此 16 個數中,必至少有一個質數

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-23 14:02 編輯 [/i]]

PDEMAN 發表於 2022-4-19 17:17

回復 26# lisa2lisa02 的帖子

填充八

[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-19 17:33 編輯 [/i]]

lisa2lisa02 發表於 2022-4-19 19:46

謝謝老師們的回覆!

Jimmy92888 發表於 2022-4-20 21:03

回復 30# anyway13 的帖子

目前看起來,您的F點坐標應該是(1,0,1)

anyway13 發表於 2022-4-21 02:37

回復 31# Jimmy92888的帖子

謝謝 Jimmy92888老師提點

已經更新計算過程

答案算出來和鋼琴老師一樣(老師寫短短  自己寫漏漏長)

唯一不同的事,得出E(1/2,-(根號2)/2,1/2)  (向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係

如果哪裡算錯  請指正

[[i] 本帖最後由 anyway13 於 2022-4-21 11:15 編輯 [/i]]

Superconan 發表於 2022-4-21 13:07

學校公告計算與證明題簡答

111.4.21補充
將檔案移到第一篇文章

thepiano 發表於 2022-4-21 13:31

[quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2022-4-21 02:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23885&ptid=3621]
(向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係[/quote]

向量 AE = (1/2,-√2/2,1/2),向量 EF = (1/2,√2/2,1/2)
內積是 0 喔

koeagle 發表於 2022-4-21 15:31

回復 28# PDEMAN 的帖子

想請問 \( \frac{\pi}{12} \) 怎麼得到的?
若是以老師您的圖來看,好像是 \( \frac{\pi}{6} \)

PDEMAN 發表於 2022-4-21 16:00

回復 34# koeagle 的帖子

\(p(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) 高\( \frac{\sqrt{3}}{2}\) 對應為\(60^{\circ}\)
所以第一象限扇形的面積為\(\frac{1}{12}\pi\)
如果要看成一和四象限就\(\frac{1}{6}\pi\)

[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 16:14 編輯 [/i]]

koeagle 發表於 2022-4-21 16:23

回復 35# PDEMAN 的帖子

謝謝老師,我一直想成角度 \( 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \) ,忘了是面積......

jerryborg123 發表於 2022-4-21 17:47

回復 28# PDEMAN 的帖子

請問老師,如何知道從(2,0)做圓的切線所圍範圍皆可達到?
為何直線不是利用速度 2:1  畫 y=(-1/2)x+1 ?

PDEMAN 發表於 2022-4-21 18:10

回復 37# jerryborg123 的帖子

作\( y=-\frac{1}{2}x+1\)會割到圓\(x^2+y^2=1\)
速度\(2:1\) 你可以令軌跡為\((x-2t)^2+y^2=(1-t)^2 \qquad 0\leq t\leq 1\) 則可以跑出右半圖型
最後再加設切線過\( (2,0)\) 利用半徑到切線距離即可求出切線

[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 18:14 編輯 [/i]]

anyway13 發表於 2022-4-21 19:17

回復 33# thepiano的帖子

對ㄟ   連驗算都弄錯了  謝謝鋼琴老師

koeagle 發表於 2022-4-21 20:05

想請教填充甲第5題,謝謝。

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