回復 21# enlighten0626 的帖子
填充甲 第 2 題△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)
同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)
最後用正弦定理可求出 PA^2：PB^2：PC^2 = 19：7：13
回復 21# enlighten0626 的帖子
過P點做平行三邊的平行線，會將三角形切割成三個正三角形與三個平行四邊形，利用餘弦定理得，PA^2=2^2+3^2-2*2*3*cos120°=19
PB^2=2^2+1^2-2*2*1*cos120°=7
PC^2=1^2+3^2-2*1*3*cos120°=13 謝謝以上老師的回覆
回復 15# PDEMAN 的帖子
感謝PDEMAN老師的作法 讓小弟恍然大悟這邊容小弟詳細整理做法
反正重點就是，在y軸上找一個E點
讓題目給的圓軌跡\(\displaystyle x^2+y^2=16\)變成一個滿足\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1\)的阿波羅圓，由上面PDEMAN老師的圖形可以看出所求E為(0,1)
以下為驗算，考場可以不需要做這步
設\(\displaystyle D(x,y)\)，有\(\displaystyle \overline{AD}^2=16\overline{DE}^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+(y-16)^2=16[x^2+(y-1)^2]\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=16\) 符合題目給的圓軌跡
所以圓上任一D點滿足
\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1 \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AD}=\overline{DE}\)
之後就有最一開始Peter老師的寫法
所求為
\(\displaystyle \frac{1}{4}\overline{AD}+\overline{BD}=\overline{BD}+\overline{DE}\geq\overline{BE}=\sqrt{26}\)
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2022-10-9 13:46 編輯 [/i]] 想請教各位老師填充8、9，謝謝!
回復 26# lisa2lisa02 的帖子
第 9 題把質數由小到大依序排列，第 14 個是 43，第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方，則這 15 個數兩兩互質且其中無質數
接著證明，從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數
假設這 16 個兩兩互質的數中，沒有質數
(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數，分別是 a_1 ~ a_15，且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209，不合
(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)
故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-23 14:02 編輯 [/i]]
回復 26# lisa2lisa02 的帖子
填充八[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-19 17:33 編輯 [/i]] 謝謝老師們的回覆!
回復 30# anyway13 的帖子
目前看起來，您的F點坐標應該是(1,0,1)回復 31# Jimmy92888的帖子
謝謝 Jimmy92888老師提點已經更新計算過程
答案算出來和鋼琴老師一樣(老師寫短短 自己寫漏漏長)
唯一不同的事,得出E(1/2,-(根號2)/2,1/2) (向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係
如果哪裡算錯 請指正
[[i] 本帖最後由 anyway13 於 2022-4-21 11:15 編輯 [/i]] 學校公告計算與證明題簡答
111.4.21補充
將檔案移到第一篇文章 [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2022-4-21 02:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23885&ptid=3621]
(向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係[/quote]
向量 AE = (1/2，-√2/2，1/2)，向量 EF = (1/2，√2/2，1/2)
內積是 0 喔
回復 28# PDEMAN 的帖子
想請問 \( \frac{\pi}{12} \) 怎麼得到的？若是以老師您的圖來看，好像是 \( \frac{\pi}{6} \)
回復 34# koeagle 的帖子
\(p(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) 高\( \frac{\sqrt{3}}{2}\) 對應為\(60^{\circ}\)所以第一象限扇形的面積為\(\frac{1}{12}\pi\)
如果要看成一和四象限就\(\frac{1}{6}\pi\)
[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 16:14 編輯 [/i]]
回復 35# PDEMAN 的帖子
謝謝老師，我一直想成角度 \( 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \) ，忘了是面積......回復 28# PDEMAN 的帖子
請問老師，如何知道從(2,0)做圓的切線所圍範圍皆可達到？為何直線不是利用速度 2:1 畫 y=(-1/2)x+1 ？
回復 37# jerryborg123 的帖子
作\( y=-\frac{1}{2}x+1\)會割到圓\(x^2+y^2=1\)速度\(2:1\) 你可以令軌跡為\((x-2t)^2+y^2=(1-t)^2 \qquad 0\leq t\leq 1\) 則可以跑出右半圖型
最後再加設切線過\( (2,0)\) 利用半徑到切線距離即可求出切線
[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 18:14 編輯 [/i]]