111高雄中學
去年朋友幫抄題目後來考上正式今年他再幫大家抄一次
*感謝Superconan老師打成電子檔，幫忙置頂 初試錄取分數42分 謝謝 BambooLotus 老師提供試題，我將其打為電子檔，方便大家觀看。如有錯誤，可以再跟我說。 請問第 1 題、第 2 題 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-9 20:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23689&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問第 1 題、第 2 題 [/quote]
#1 題目有抄錯嗎?
用電腦算出來這麼醜..... [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2022-4-9 20:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23689&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問第 1 題、第 2 題 [/quote]
第二題硬解，乍看很可怕，但題目都有設計好
設四點依序為A,B,C,D
做A,B中垂線，得直線方程式\[x+2y=4\]
做C,D中垂線，看似很可怕，但最後可得直線方程式\[x+y=1\]
兩中垂線之交點為圓心(-2,3)，得半徑為5
再由C到圓心距離為5，解k的4次方程式，用一次因式檢驗法可得k只有2這個有理數解
故k=2 2. \((-k+4,k^2+k),(-k^2-k+1,k-3)\)的斜率為\(1\)，中點為\(\displaystyle (\frac{-k^2-2k+5}{2},\frac{k^2+2k-3}{2})\)
中點恆滿足\(x+y=1\)，由斜率可知中垂線必為\(x+y=1\)
與\(x+2y-4=0\)解得圓心座標\((-2,3)\)，半徑為\(5\)
\((-k+6)^2+(k^2+k-3)^2=25\)，\(k^4+2k^3-4k^2-18k+20=0\)
\((k-2)(k^3+4k^2+4k-10)=0\)，\(k=2\)
上面剛好有人回到同一題，自己隨便挑一題補個做法
6. \(9603=99\times97\)，令\(x=100\)，所求即\(f(x)\)對\((x-1)(x-3)\)的餘式
令\(f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+a(x-1)+b\)，代入\(f(1)=12,f(3)=40\)即可 [quote]原帖由 [i]BambooLotus[/i] 於 2022-4-9 14:23 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23684&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
去年朋友幫抄題目後來考上正式
今年他再幫大家抄一次
*感謝Superconan老師打成電子檔，幫忙置頂 [/quote]
還有那個#14 不知道數據有沒有抄錯....
如果沒有錯的話,最後就是要解2^x+3^(1/x)=5
有一解為x=1,另一解大於1(用電腦算出估計值約1.58496.......)
回復 8# Ellipse 的帖子
確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了 [quote]原帖由 [i]BambooLotus[/i] 於 2022-4-10 00:06 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23696&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤
不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了 [/quote]
我很想知道出題老師是如何手算把這個答案算出來?
然後若要用近似值表示 是要到小數點後第幾位? [quote]原帖由 [i]BambooLotus[/i] 於 2022-4-10 00:06 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23696&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤
不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了 [/quote]
那#1確定題目沒有抄錯?
回復 12# Ellipse 的帖子
利用\(\displaystyle \frac{a^2}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{a+1}-\frac{2(a+1)}{a+1}+\frac{1}{a+1}\)利用等比級數+頭尾相加，不知是否可以求出正解
考試有點當機所以沒算出來
*試算一下頭尾相加部分似乎真的有問題
回復 5# Ellipse 的帖子
我印象中題目是 k = 1 到 2022回復 12# Ellipse 的帖子
BambooLotus 老師的數據應該都沒錯，我除了打下來以外，也有跟幾位朋友核對過。 7.試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\)？
[提示]
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{2022}(-1)^n\left(\frac{n}{(n-1)!}+\frac{n+1}{n!}\right)\)
Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994，[url]https://artofproblemsolving.com/community/c5039_1994_canada_national_olympiad[/url])
試求出下列級數之值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)
(110高中數學能力競賽第五區筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html[/url])
我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url]
9.
有一矩形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，將矩形沿\(\overline{BD}\)折起，使平面\(ABD\)與平面\(CBD\)的夾角為\(120^{\circ}\)，試求\(\overline{AC}=\)？
其他相關題目，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid846[/url]
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為[u] [/u](以\(\theta\)表示)。
(110台中一中，[url]https://math.pro/db/thread-3506-3-1.html[/url])
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=5931&k=07cf11f42629f0497b5ceed5280d3ac8&t=1649544642&noupdate=yes[/img]
12.
設相異三平面\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
請證明：\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748[/url]
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=1686&k=d9283cc05591bb07ed61e0535a8e238b&t=1649545236&noupdate=yes[/img] 這邊提供小弟在考場有寫的幾題答案
有些題目 bugmens老師已經貼出詳解和出處 小弟就不寫上來了
3. \(\displaystyle \frac{2}{3}<m<\frac{5}{3}\)
5.\(8\)
8.\(\displaystyle \frac{5}{12}\)(約分約錯...沒救.)
10(2). \(\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}\ , \ Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)
11. 假設直線為\(\displaystyle y=mx+k\)，\(f(x)\)的首項係數為\(p\)
可以假設\(\displaystyle f(x)=p(x-a)(x-b)(x-c)+mx+k\)，二次微分解反曲點即可
13. \(\displaystyle \frac{7}{30}\)
另外想請問 15 16 第一題沒抄錯題目，我一直覺得我那題應該寫得出來，但我寫了20分鐘還是沒結果... [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2022-4-9 23:48 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23695&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
還有那個#14 不知道數據有沒有抄錯....
如果沒有錯的話,最後就是要解2^x+3^(1/x)=5
有一解為x=1,另一解大於1(用電腦算出估計值約1.58496.......)
另一解是無法手算出來的...
難道可以允許考生在考試時按計算機?
喔 ... [/quote]
我想另一根應該是log_2 3 考場寫得時候沒想到這件事，您說有另一根後想到可能是這個數 [quote]原帖由 [i]zerogil159[/i] 於 2022-4-10 12:09 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23708&ptid=3619][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想另一根應該是log_2 3 考場寫得時候沒想到這件事，您說有另一根後想到可能是這個數 [/quote]
對喔~但變成是用湊的~ (2+3=5 ,3+2=5 這樣......)
那還要說明log_2 3這根是唯二的解
回復 17# satsuki931000 的帖子
第 16 題p(x) = 0 的二根為 - a ± √(a^2 + b + 1)
q(x) = 0 的二根為 - b ± √(b^2 + a + 4)
a^2 + b + 1 和 b^2 + a + 4 均為完全平方數
接下來分成
(1) a = b (2) a ＞ b (3) a ＜ b 去討論，用夾的
答案是 (a，b) = (0，0) 或 (1，2)