110年張進通許世賢雲嘉南考題
這份為今年雲嘉南數學能力競試題，雖然考試對象為國中生，不過題目蠻偏高中類型的，共兩份。另，想請教各位老師「數學二試題」這份考卷的第15題。 謝謝各位!
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數學二試題15.已知一個四邊形邊長依序為\(70,90,130,110\)，該四邊形外切於一圓且內接於另一圓，若內切圓之一切點將長度為130之邊分為\(x\)與\(y\)二線段長\((x<y)\)，則\(x:y=\)[u] [/u]。(最簡整數比)
[解答]
不妨四邊長都縮1/10,設四邊形ABCD的內切圓半徑r,AB上的切點為E,BC上的切點為F
,CD上的切點為G,DA上的切點為H,四切點與四頂點都跟內心各自連線形成八個直角三角形,令AE=AH=a,則另外的六個線段長馬上跟著決定,
再由四邊形ABCD內接一圓對角互補可得兩組相似三角形=>a/r=r/(a-4) , (13-a)/r=r/(11-a)
=>a(a-4)=(13-a)(11-a)=>a=143/20=y ,13-a=117/20=x =>x;y=117:143=9:11
110嘉中數學競試問題請教。
數學一試題16.設\(k\)是正整數，則\(k=\)[u] [/u]時，\(\displaystyle \frac{k^2}{1.3225^k}\)有最大值。
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這種題目應該都是k^2 / 1.3225^k > (k + 1)^2 / 1.3225^(k + 1)
k^2 / 1.3225^k > (k - 1)^2 / 1.3225^(k - 1)
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令f(x)=x^2/1.3225^x,則 f'(x)=x/1.3225^x*(2-x*ln1.3225),可知f(x)函數是先遞增後遞減故本題只須要求f(k)/f(k+1)=1.3225k^2/(k^2+2k+1)>=1,找最小的k即可
=> 0.3225k^2-2k-1>=0 => k>=(2+ㄏ5.289)/0.6445=大約6.67
故所求的k=7 感謝解惑!
回復 1# niklacage 的帖子
小技巧分享1.3225=1.15^2 這樣算會快一點110嘉中數學競試問題請教。
想請教一下數學一試題9.的作法，感謝！回覆 9# LS0722 的帖子
數學一第 9 題(a_1 + a_2 + ... + a_n)(a_1^3 + a_2^3 + ... + a_n^3) ≧ (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)^2
等號成立於 a_1 = a_2 = ... = a_n
a_1 = 40/n，a_1^2 = 100/n，解 n 感謝解惑!
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