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bugmens 發表於 2021-11-16 20:42

106高中數學能力競賽

政大附中掃描決賽總報告的題目
[url]https://www.ahs.nccu.edu.tw/ischool/publish_page/3/?cid=2811[/url]

bugmens 發表於 2021-11-16 20:46

有一個半徑為6的實心球,其球心為\(\displaystyle (0,0,\frac{21}{2})\);另有一個半徑為\(\displaystyle \frac{9}{2}\)的實心球,其球心為\((0,0,1)\)。則兩球相交的區域內部共有[u]   [/u]個格子點(坐標皆為整數的點)。

在密碼學中,我們將26個英文字母按順序分別對應整數0~25,例如:\(A,B,C\)對應0,1,2,\(Z\)對應25。現有4個英文字母構成的密碼單詞,這個單詞字母由左而右分別對應整數\(x_1,x_2,x_3,x_4\)。已知:\(x_1+2x_2,3x_2,x_3+2x_4,7x_4\)除以26的餘數分別為\(9,16,23,2\)。則此密碼的單詞是[u]   [/u]。
(97師大附中,[url]https://math.pro/db/thread-743-1-1.html[/url])

有一個直圓柱量筒,平放在桌面上,其底面直徑為4公分,現將3個直徑為2公分的鐵球放進量筒中,再將水注入量筒中,直到3個鐵球全部沒入水中,則量筒中水位高至少為[u]   [/u]公分。

在空間座標中有一光源位於\((0,2,2)\),將\(xz\)平面上的圓:\(x^2+(z-1)^2=1\),\(y=0\)照射在\(xy\)平面上,試問這個圓的所有的影像構成何種曲線?其方程式為何?
[url]https://math.pro/db/thread-674-1-1.html[/url]

正方形\(ABCD\)內一點\(P\)滿足\(\overline{PA}=\sqrt{3},\overline{PB}=2\sqrt{3},\overline{PD}=\sqrt{6}\),求正方形\(ABCD\)的面積。
(99萬芳高中,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2220[/url])

若\(\alpha=sin^3 20^{\circ}-sin20^{\circ},\beta=sin^3 40^{\circ}-sin40^{\circ},\gamma=sin^3 80^{\circ}-sin80^{\circ}\),試求\(\alpha+\beta-\gamma\)之值。

試證:\(\displaystyle \frac{1}{cos0^{\circ}cos1^{\circ}}+\frac{1}{cos1^{\circ}cos2^{\circ}}+\frac{1}{cos2^{\circ}cos3^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{cos88^{\circ}cos89^{\circ}}=\frac{cos1^{\circ}}{sin^2 1^{\circ}}\)

111.7.2補充
設\(f(x)\)為一個五次實係數多項式,如果\(f(x)+1\)能被\((x-1)^3\)整除,且\(f(x)-1\)能被\((x+1)^3\)整除,試求滿足上述條件之所有可能多項式\(f(x)\)。
[解答]
因為\(f(x)+1\)能被\((x-1)^3\)整除,且\(f(x)-1\)能被\((x+1)^3\)整除,可令\(f(x)-1=(x+1)^3q(x)\),其中\(q(x)為一實係數多項式\)。
所以\(f(-x)-1=(-x+1)^3q(-x)=-(x-1)^3q(-x)\),
因此\((x-1)^3|\;[f(x)+1]+[f(-x)-1]\Rightarrow (x-1)^3|\;f(x)+f(-x)\)
同理可證:\((x+1)^3|\;f(x)-1\),\((x+1)^3|\;f(-x)-1\Rightarrow (x+1)^3|\;f(x)+f(-x)\)
所以\((x+1)^3(x-1)^3|\; f(x)+f(-x)\)。
但\(deg f(x)=5\Rightarrow deg[f(x)+f(-x)]\le 5\Rightarrow f(x)+f(-x)=0\)
因此可得\(f(x)\)的偶數項係數為0。
令\(f(x)-1=(x+1)^3(ax^2+bx+c)=(x^3+3x^2+3x+1)(ax^2+bx+c)\)
\(=ax^5+(3a+b)x^4+(3a+3b+c)x^3+(a+3b+3c)x^2+(b+3c)x+c\)
又\(\displaystyle c=-1\Rightarrow a=-\frac{3}{8},b=\frac{9}{8}\Rightarrow f(x)=-\frac{3}{8}x^5+\frac{5}{4}x^3-\frac{15}{8}x\)。

\(f(x)\)是一五次多項式函數,若\((x-1)^3|\; f(x)+1\)、\((x+1)^3 |\; f(x)-1\),試求f(3)。
(107武陵高中,[url]https://math.pro/db/thread-2948-1-1.html[/url])
(107高雄女中,[url]https://math.pro/db/thread-2953-1-1.html[/url])

克勞棣 發表於 2021-11-17 13:05

此密碼的單詞是HOPE

這有公式的。
正方形ABCD內有一點P,P到頂點A,B,C,D的距離分別是a,b,c,d,正方形面積為X,則
①a²+c²=b²+d²
② 2X²-2(b²+d²)X+(a²-b²)²+(a²-d²)²=0
此題正方形的面積為9+5√3

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