請教一題證明
已知\(a\)、\(b\in N\)，當\(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab+1}\)有正整數解時。試證其解為完全平方數。如圖，想請教各位老師，這題能怎麼解答。
想了一天還是沒想到作法... 用根與係數關係式＋反證法，詳見如下：
[url]https://buzzorange.com/techorange/2020/03/06/the-legend-of-question-6/[/url]
回復 1# icegoooood 的帖子
當a<=20,b<=100,a<=b時有五組解,都是平方數.1. (1^2+1^2)/(1*1+1)=1
2. (2^2+8^2)/(2*8+1)=4
3. (3^2+27^2)/(3*27+1)=9
4. (4^2+64^2)/(4*64+1)=16
5. (8^2+30^2)/(8*30+1)=4
回復 2# weiye 的帖子
太厲害了.... 用明明都知道的定理跟技巧，卻破了這個難題...難怪數學這麼有趣XD (而且到今天才知道原來用到爛的根與係數的正式名稱是「韋達定理」.... 真是受教了... )
感謝 weiye老師的熱心解答!!!!
回復 3# laylay 的帖子
謝謝 laylay老師的幫助! 這樣跟其他人解釋題目的時候，拿出實解，能更好讓人理解!回復 1# icegoooood 的帖子
我比較好奇的是，為什麼要限定a,b都是「正」整數？回復 5# icegoooood 的帖子
不客氣,我是覺得這個正整數解有無限多組解,不知有沒有人會證明 或 證明是有限解?還有k=(a^2+b^2)/(ab+1)為正整數時有最大值嗎?
回復 6# 克勞棣 的帖子
痾 因為拿到題目寫的時候，題目就這樣規定不過可以思考看看如果是規定整數的時候，能不能有一樣的結論。
回復 7# laylay 的帖子
好問題耶! 我也來思考看看!回復 7# laylay 的帖子
令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數取 a = 2m，其中 m 是正整數
整理可得 b^2 - 2mkb + (4m^2 - k) = 0
b = mk + √[(mk)^2 + (k - 4m^2)] (取其較大的根就好)
最後再取 k = 4m^2 = (2m)^2
此時 b = 2mk
即可證明 k 有無限多解，當然就沒有最大值了
回復 8# icegoooood 的帖子
如果a,b擴展到所有的整數.....當a,b至少一個是0時，原式等於a^2或b^2，確是完全平方數，這是trivial解
當a,b皆為負整數時，因為負負得正，所以原式與a,b皆為正整數時的值一樣；若「a,b皆正」正確，則「a,b皆負」必然也正確
當(a,b)為(1,-1)或(-1,1)時，原式分母為0，無意義
當a,b一正一負且a*b≦-2時，原式是負數，所以不會有正整數解，當然也不會是完全平方數
所以只要限定a,b皆為整數，且a*b≧0即可，不一定要兩數皆正
回復 10# thepiano 的帖子
感謝您,[(2m)^2+(8m^3)^2]/[(2m)(8m^3)+1]=(2m)^2,只要k給定任意偶數的平方,a,b都一定有正整數解,本來想要再請問若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?例如給定k=3^2,則可找到a=3,b=27,使 (3^2+27^2)/(3*27+1)=3^2
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.
例如給定k=7^2,那麼a=7^3 ,b=7 就會是一組整數解.
給定k=18^2,那麼a=18^3 ,b=18 就會是一組整數解.
回復 12# laylay 的帖子
[quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2021-11-22 11:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23478&ptid=3578][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎? [/quote]其實做法一樣
令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數
取 a = 2m - 1，其中 m 是正整數
整理可得 b^2 - (2m - 1)kb + ((2m - 1)^2 - k) = 0
b = {(2m - 1)k + √[(2m - 1)^2k^2 - 4((2m - 1)^2 - k)]} / 2 (取其較大的根就好)
最後再取 k = (2m - 1)^2
此時 b = (2m - 1)k = (2m - 1)^3
即可證明若 k 給定任意奇數的平方，a 和 b 仍有正整數解 [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2021-11-22 11:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23478&ptid=3578][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.[/quote]
這種超強的觀察力，小弟是沒有的:)
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝,把題目改成(a^3+b^3)/(ab+1)=k,令k=a^3/(ab)=b^3/1=b^3,此時a=b^2,也就是k為立方數時a,bㄧ定有整數解,本來想問a,b,k都為整數時,k一定為立方數嗎?
後來卻發現令b=1,則k=(a^3+1)/(a+1)=a^2-a+1不一定為立方數.
把題目改成a,b,k為正整數,且(a^4+b^4)/(ab+1)=k,請大家來研究一下正整數的k到底有何特色呢?
我除了a=n^3,b=n^5,k=n^12的解之外就只找到(a,b,k)=(3,11,433),(8,12,256)的解了.
回復 15# laylay 的帖子
(a^4+b^4)/(ab+1)=k(a,b,k)=(2,128,1044496), (3,64,86929), (8,84,73984), (16,40,4096)
看不出有什麼規則
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