Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎？

克勞棣 發表於 2021-9-27 20:44

滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎？

a,b,c是某三角形的三邊長，且abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)，則該三角形必然是正三角形嗎？
(正三角形顯然滿足這個等式，但滿足這個等式者必然是正三角形嗎？)

satsuki931000 發表於 2021-9-27 21:21

令\(A=b+c-a，B=a+c-b,C=a+b-c\)
則原式可以改寫成以下等式

\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8}=ABC\)
由算幾不等式得知\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\geq \sqrt{AB}\)
同理: \(\displaystyle \frac{B+C}{2}\geq \sqrt{BC}\) ， \(\displaystyle \frac{C+A}{2}\geq \sqrt{CA}\)
三式相乘即得\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8} \geq ABC\)
等號成立在\(A=B=C\)之時，進一步還原得\(a=b=c\)

所以\(a,b,c\)若滿足題目等式，則必為正三角形

[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-9-27 21:24 編輯 [/i]]

克勞棣 發表於 2021-9-27 22:54

回復 2# satsuki931000 的帖子

謝謝！這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的，所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

satsuki931000 發表於 2021-9-27 23:00

[quote]原帖由 [i]克勞棣[/i] 於 2021-9-27 22:54 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23355&ptid=3559][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝！這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的，所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。 [/quote]

想請問是哪個充分必要條件

克勞棣 發表於 2021-9-27 23:48

回復 4# satsuki931000 的帖子

「外接圓半徑=2*內切圓半徑」

設R是此三角形的外接圓半徑，r是內切圓半徑，s是半周長，A是面積，則
A=abc/(4R) → 左式=4RA
A=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) → 右式=8A^2/s
因此4RA=8A^2/s → R=2A/s=2(rs)/s=2r
根據歐拉定理「R≧2r，等號成立於三角形是正三角形時」，知其為正三角形

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