110竹東高中
昨天(2021/7/28)考的，共考10題。下面檔案第一大題簡答題第4題直線方程式數字不確定，第二大題的3、4題題目數字不確定。
其它不完整的題目實在想不起來，請有記得題目的老師可以補充一下考題。
(2021/7/31更新題目) 簡答3.
A, B, C 為三角形3內角，z= 根號65/5sin [(A+B)/2] (係數不太確定)+ i cos[(A-B)/2] , |z|= 忘了, 求 tan(A+B)之最小
證明3(2) 沒記錯應該是求 X^2021-Y^2021 試題已公布
110.8.2版主補充
將題目放到第一篇 1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，當\(1\le n\le 5\)時，\(a_n=n^2\)，且對所有正整數\(n\)，\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立，則\(a_{110}=\)？
[提示]
循環數列1,4,9,16,25,22,17,10
設實數數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}^{\infty}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}(n=1,2,\ldots)\)，且\(a_{100}=1,a_{200}=2\)，試求\(a_{300}\)。
(2002TRML團體賽)
3.
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\)，且\(X\)，\(Y\)均為二階方陣，滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)，若\(aX+bY=A\)，其中\(a>b\)，\(a,b\)為定值，試求
(1)數對\((a,b)=\)？
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)？
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)，且\(X\)、\(Y\)均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\; \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，\(a\)、\(b\)為常數，則\( X^n= \)？
(101台南二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262[/url])
4.
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\))，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(2M+m=\)[u] [/u]。
(100文華高中代理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635[/url])
5.
設\(P\)為正\(\Delta ABC\)內部一點滿足\(\overline{AP}=2,\overline{BP}=3,\overline{CP}=\sqrt{7}\)，求正\(\Delta ABC\)的邊長？
已知\(P\)為正\(\Delta ABC\)內一點，若\(\overline{PA}=\sqrt{7}\)，\(\overline{PB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{PC}=2\)，則\(\overline{AB}=\)？
(建中通訊解題第106期，連結有解答[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url]) 1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，當\(1\le n\le 5\)時，\(a_n=n^2\)，且對所有正整數\(n\)，\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立，則\(a_{110}=\)？
[解答]
令\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n\)，原式同\(\displaystyle b_{n+4}=-b_n\)
且\(b_1=3，b_2=5，b_3=7，b_4=9\)，由遞迴式推出\(b_5=-3，b_6=-5，b_7=-7，b_8=-9\)
所求為\(\displaystyle \sum_{k=1}^{109}b_k + a_1 =22\)
柯西想請問關於幾何的證明法
考試當下只有想到硬幹 向量 二次函數說明
回復 5# satsuki931000 的帖子
向量和幾何二維寫起來一樣吧..就是正射影長小於等於原長度
一個用向量語言寫，一個不要用向量寫直接想辦法算長度 計算證明題6.
請分別用代數、向量、幾何及其他方法證明柯西不等式\((Cauchy-Schwarz\) \(inequality)\)：
設\(a,b,c,d \in R\)，\((ac+bd)^2\le (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)\)
[解答]
柯西不等式的幾何方式呈現說明:
以下是小弟想法,請參考看看 請問計算第一題是否有什麼觀念可以看出是角平分線?
個人做法設折起的\(\angle ACD=\alpha \)，計算AC與BC夾角\(\theta\)的cos值為\(\cos\theta \)=\(\displaystyle \frac{(\sec \alpha)^2 + (\csc\alpha)^2-(\tan \alpha)^2-(\cot \alpha)^2}{2\sec \alpha \csc \alpha}\)
化減後得\(\sin\alpha\cos\alpha\)，取最大為0.5，此時\(\alpha=45^。 \)
算一堆最後是角平分線感覺有點嘔
回復 8# cut6997 的帖子
看出來不太可能令\(\angle BCD=\alpha \)，倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2021-8-3 11:23 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23215&ptid=3533][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
看出來不太可能
令\(\angle BCD=\alpha \)，倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\) ... [/quote]
我上面那一大串最後就是算出\(\cos \theta \) =\(\sin\alpha\cos\alpha\)=\(\displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{2}\)
不知是否有較快的方式得到這結論，還是這其實是個常用知識? 想請教簡答3
回復 11# ibvtys 的帖子
簡答第3題已知\(A\)、\(B\)、\(C\)為\(\Delta ABC\)的內角，若\(\displaystyle z=\frac{\sqrt{65}}{5}sin\frac{A+B}{2}+i cos\frac{A-B}{2}\)，且\(\displaystyle |\;z|\;=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)，則\(tan(A+B)\)的最小值為何？
[解答]
\(\begin{align}
& {{\left| z \right|}^{2}}=\frac{13}{5}{{\sin }^{2}}\left( \frac{A+B}{2} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{A-B}{2} \right)={{\left( \frac{3}{5}\sqrt{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{5} \\
& 13\left( \frac{1-\cos \left( A+B \right)}{2} \right)+5\left( \frac{1+\cos \left( A-B \right)}{2} \right)=9 \\
& 5\cos \left( A-B \right)=13\cos \left( A+B \right) \\
& 5\left( \cos A\cos B+\sin A\sin B \right)=13\left( \cos A\cos B-\sin A\sin B \right) \\
& 18\sin A\sin B=8\cos A\cos B \\
& \tan A\tan B=\frac{4}{9} \\
& \\
& \tan A=x,\tan B=\frac{4}{9x} \\
& \tan \left( A+B \right)=\frac{x+\frac{4}{9x}}{1-\frac{4}{9}}\ge \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{12}{5} \\
\end{align}\)
回復 12# thepiano 的帖子
了解~感謝您回復 5# satsuki931000 的帖子
其他版本的是否符合不確定(甚至還有微積分版本的)
但看到的時候腦袋有閃過這個
至於有沒有分...就看評審給不給過
(某種程度上也是和代數很像) 想請教計算二，有比較快的討論方法嗎？
回復 5# satsuki931000 的帖子
因為是二維的,所以會有比較多證法:除了常見
1.移項代數證法
2.向量內積證法
3.二次函數+判別式證法
還有
4.幾何面積法(如7#的圖)
5.餘弦定理
6.算幾不等式
7.排序不等式
8.矩陣法
9.正交化方法
10.用Holder不等式的特例
11.大學以上工具(積分,複數,機率........)
12.........
回復 15# ibvtys 的帖子
計算第 2 題竹東高中的多元選修課程共開設了六門選修課：\(A\)、\(B\)、\(C\) 為第一類選修課，\(D\)、\(E\)、\(F\)為第二類選修課，要求每名同學須從中選修三門課，第一類選修課至少要選兩門。現有甲、乙、丙三位同學選課，則任意一位同學與其他兩位同學均至少有兩門相同選修課的選法
共有幾種？
[解答]
小弟的做法如下，參考一下，應該算慢
每人的選課法有以下 10 種
ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、BCD、BCE、BCF
甲、乙、丙三人選課且符合題意的情形：
(1) 三同：10種
(2) 兩同一異
(i) 兩同是 ABC：9種
(ii) 一異是 ABC：9種
(iii) 沒有 ABC：9 * 4 = 36種
先假設兩同是 ABD、一異有 ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，其餘情形的兩同亦是 4 種
再排列，有 (9 + 9 + 36) * 3!/2! = 162 種
(3) 三異
(i) 有一異是 ABC：(9 * 4) / 2 = 18 種
再假設另一異是 ABD、最後一異有ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，由於會重複，故要除以 2
(ii) 三異中都沒有 ABC：6種
(ABD、ABE、ABF) 、(ACD、ACE、ACF)、(BCD、BCE、BCF)
(ABD、ACD、BCD)、(ABE、ACE、BCE)、(ABF、ACF、BCF)
再排列，有 (18 + 6) * 3! = 144 種
所求 = 10 + 162 + 144 = 316 種
回復 15# ibvtys 的帖子
小弟的土法煉鋼分上(ABC)下(DEF)兩區，下列上的意思是幾人為上半區全選
3上:1
2上:3*3*3=27
1上:3*(3*3*3+3*2*3)
0上:下3異:3*2*3、下2同:3*3*2*3、下3同:3*3*3*3 計算二，有誤再請指正，謝謝
請教計算一
板上老師好計算一用定坐標的方式處理 算到最後得到 開根號(169-10t) 0<t<5
是不是哪作錯了 ? 因為公告解為根號109 過程如附件
110.8.8版主補充
將pdf檔中的圖檔擷取出來，方便網友閱讀
頁:
[1]
2