110鳳山高中
發現今天還沒人po，再請各位幫我把題目補齊，可能有些數據有點跑掉，大家計算時再留意一下。
110.7.28版主補充
換上官方版題目 公布試題了
我上一篇寫錯題目的就刪掉了
複試名單也出來了
9個人，門檻為33分
110.8.28版主補充
將官方版題目放到第一篇文章 7.
求無窮級數和\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)(k+3)}=\)[u] [/u]。
計算證明題
1.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(a_2=1\)，\(a_3=2\)，\(\displaystyle a_n=\frac{1}{a_{n-3}}(a_{n-2}\cdot a_{n-1}+3)\)，\(n\ge 4\)。試證：此數列每一項都是整數。
正數數列\(\{\;a_n \}\;\)有\(\displaystyle a_1=a_2=1,a_3=997,a_{n+3}=\frac{1993+a_{n+2}a_{n+1}}{a_n}\)，證明所有\(a_n\)均為整數。
(第三屆(1993年)澳門數學奧林匹克第三輪第4題)
[證明]
補充\(a_0=2\)，已知\(a_{n+3}a_n=1993+a_{n+2}a_{n+1}\)
用\(n+1\)換\(n\)並與上式相減化簡得\(\displaystyle \frac{a_{n+4}+a_{n+2}}{a_{n+2}+a_n}=\frac{a_{n+3}}{a_{n+1}}\)
對此式，令\(n=0,2,\ldots,2m-2\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+2}+a_{2m}}{a_2+a_0}=\frac{a_{2m+1}}{a_1}\)
即\(a_{2m+2}+a_{2m}=3a_{2m+1}\)
再令\(n=1,3,\ldots,2m-1\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+3}+a_{2m+1}}{a_3+a_1}=\frac{a_{2m+2}}{a_2}\)
即\(a_{2m+3}+a_{2m+1}=998a_{2m}\)，\(m\ge 0\)
對\(m\)用數學歸納法，不難證得\(a_{2m},a_{2m+1}\)均為整數，故結論成立。
請教第9題
板上老師好請問填充9,要怎麼做出p=11呢?
一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的
回復 4# anyway13 的帖子
第 9 題根號 433 約 20.808
根號 434 約 20.833
分母從 2 開始，只考慮小於 1 的最簡分數且其化成小數後介於 0.808 和 0.833 之間
這之中只有 5/6 約 0.8333 比較接近，但它比 0.833 大，不合
接著很快可找到 9/11 約 0.818，合
把它加上 20 就是答案
這題比較麻煩的只有前面的開根號
回復 5# thepiano的帖子
小弟就是卡在根號開完的後續處理,謝謝鋼琴老師詳細的講解 想請教填充5和計算2 [quote]原帖由 [i]ibvtys[/i] 於 2021-8-1 13:34 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23186&ptid=3531][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請教填充5和計算2 [/quote]
填充5:
F'(t)=(1/2)t -(1/4)sin(2t)
所以F' (π/3) = π/6 - (√ 3)/8
計算2:
請參考
[url]https://www.facebook.com/photo.php?fbid=4811160235567544&set=p.4811160235567544&type=3[/url]
回復 8# Ellipse 的帖子
感謝，理解了請教第12題,第10題
板上老師好 第12題利用已知條件 用長除法得到e+a-d-1=0, f+b-d-1=0, g=0 同時0<=a,b,c,d,e,f<=9
答案給336,小第從a=9固定一直排到a=1,數字總得不到 請教一下老師
第10題,把圖倒過來看,因為可以左右使得面積=15,接下來就真不會了
回復 10# anyway13 的帖子
第 10 題從左邊看，第一列剪 2 格，設第二 ~ 五列分別剪出 x、y、z、w 格
即求 x、y、z、w 是小於 6 的正整數
x + y + z + w = 13 的正整數解有幾組
H(4，9) - C(4，1) * H(4，4) = 80
回復 10# anyway13 的帖子
第 12 題考這種爛題目，出題老師是故意整考生的吧？
最後應是得到
a - d + e = 1
b - d + f = 1
c - d + g = 1
a + e = b + f = c + g = d + 1
再分別讓 d = 9、8、7、6 去討論，分別有 48、192、48、48 種，加起來是 336 種
回復 11# thepiano 的帖子
鋼琴老師好，先謝謝您的答覆。第10題，最後一行，x+y+z+w=13.其中0小於等於x,y,z,w小於等於6
最後一行，可否請您用C，再講清楚一點。因為用H作真不懂。
這種題目，每次都用暴力作，分數總上不去。
回覆#12 thepiano的帖子
謝謝鋼琴老師，再自己作作看。回復 13# anyway13 的帖子
不會吧？您年輕到沒學過 Hx、y、z、w 是小於 6 的正整數，
x + y + z + w = 13 的正整數解有幾組？
令 x = a + 1，y = b + 1，z = c + 1，w = d + 1
即求 a、b、c、d 是小於 5 的非負整數，
a + b + c + d = 9 的非負整數解有幾組？
全部的解扣掉 a、b、c、d 中有 1 個爆掉 (其中一個先給它 5)
所求 = C(12，9) - C(4，1) * C(7，4) = 80
回覆#15 thepiano的帖子
年紀大重複組合一直沒學好。說起來也丟臉，H在當學生時沒好好聽課，都用C在作。謝謝鋼琴老師耐心的解答。
回復 16# anyway13 的帖子
最近我也感覺到年紀大了，慢慢變成別人眼中沒用的人做數學時的思考力也大不如前，被疫苗認證是老人，因為一點副作用都沒有
回復 17# thepiano 的帖子
鋼琴老師說笑了。每個人體質不同，這網上您幫了多少人，幫了多少老師，早已經是武林前輩了。保重身體阿[[i] 本帖最後由 anyway13 於 2021-8-3 12:04 編輯 [/i]]
計算二
計算二發現Ellipse老師已經有分享了 亂七八糟的過程就先撤下了 第12題因為x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)
所以也可以利用f(-1)=f(i)=0來得到關係式