回復 19# anyway13 的帖子
計算第2題這題其實不難，就計算量大了點，考試時一定要先跳過
設直線AB的方程式為\(y=mx+k\)，\(A\left( {{x}_{1}},m{{x}_{1}}+k \right),B\left( {{x}_{2}},m{{x}_{2}}+k \right)\)
\(\begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{\left( mx+k \right)}^{2}}}{16}=1 \\
& \left( 25{{m}^{2}}+16 \right){{x}^{2}}+50mkx+\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{\left( 50mk \right)}^{2}}-4\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{k}^{2}}=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{x}_{1}}=-\frac{50mk}{2\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)}=-\frac{50mk}{2{{k}^{2}}}=-\frac{25m}{k} \\
& \\
& {{x}^{2}}+{{\left( mx+k \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\
& \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+2mkx+\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{\left( 2mk \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+1 \right)\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right) \\
& {{x}_{2}}=-\frac{2mk}{2\left( {{m}^{2}}+1 \right)}==-\frac{m{{R}^{2}}}{k} \\
& \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{m}^{2}}=\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25} \\
& \\
& {{\overline{AB}}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{1}}-m{{x}_{2}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( -\frac{25m}{k}+\frac{m{{R}^{2}}}{k} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right)\times \frac{\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25}{{\left( {{R}^{2}}-25 \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)} \\
& =\frac{\left( 16-{{R}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-25 \right)}{{{R}^{2}}} \\
& =41-\left( {{R}^{2}}+\frac{400}{{{R}^{2}}} \right) \\
& \le 41-40 \\
& =1 \\
\end{align}\)
\(\overline{AB}\)長的最大值是1，等號成立於\(R=2\sqrt{5}\)時 計算二
也分享一個拙拙的做法，參考附圖：
[attach]6092[/attach]
\(\overleftrightarrow{AB}\)為切線，則\(\overline{AG}\)為 角\(F_2AF_1\) 的角平分線。 設\(\overline{AF_2}=k,\,\overline{AF_1}=10-k\)，則\(\overline{GF_2}=\frac{3}{5}k,\,\overline{GF_1}=\frac{3}{5}(10-k)\)
由角平分線性質可得
\(\overline{AG}=\sqrt{\overline{AF_2}×\overline{AF_1}-\overline{GF_2}×\overline{GF_1}}=\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}\)
因為\(\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|\)，所以先推出\(\sin\theta\)。
由三角形\(AGF_2\)：
\(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{AG}^2+\overline{GF_2}^2-\overline{AF_2}^2}{2\overline{AG}· \overline{GF_2}}=\frac{\frac{16}{25}k(10-k)+\frac{9}{25}k^2-k^2}{2×\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}×\frac{3}{5}k}=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}\)
所以\(\displaystyle\sin\theta=±\sqrt{1-\frac{16(5-k)^2}{9k(10-k)}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}\)
\(\displaystyle\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|=\frac{3}{5}(5-k)\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}=\sqrt{\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}}\)
而\(\displaystyle\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}=\frac{400}{k(k-10)}+k(k-10)+25+16=41-\left(\frac{400}{k(10-k)}+k(10-k)\right)\leq41-2\sqrt{400}=1\)
所以最大值為1，此時\(\displaystyle\frac{400}{k(10-k)}=k(10-k)\)，解得\(k=5±\sqrt{5}\)或 \(k=5±3\sqrt{5}\)(後者不合，因為\(2\leq k\leq 8\))
將\(k=5-\sqrt{5}\)代入 \(cos\theta=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}=\frac{2}{3}\)
此時，由梯形ABOG可得 \(\displaystyle R=\overline{BO}=\overline{AG}+\overline{GO}×\cos\theta=\frac{4}{5}\sqrt{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}+\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{2}{3}=2\sqrt{5}\)
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-5 11:19 編輯 [/i]]
回復 20# Jimmy92888 的帖子
謝謝Jimmy92888老師提供別的關係式回復 21,22# thepiano,5pn3gp6 的帖子
謝謝兩位老師 腦袋真的比較直 真在考場八成會選和鋼琴老師一樣的做法(不過鋼琴老師的暴力法 小弟必須加強就是)5pn3gp6老師用的光學性質提供的妙招 真想不到
[[i] 本帖最後由 anyway13 於 2021-8-5 19:00 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2021-8-5 00:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23230&ptid=3531][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算二發現Ellipse老師已經有分享了 亂七八糟的過程就先撤下了 [/quote]
剛也嘗試一下不同解法,請參考看看~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-6 00:59 編輯 [/i]]
#回覆計算2
[img]file:///C:/Users/huizh/Downloads/228158918_509961606781760_849949364296818662_n.jpg[/img]好久沒來這裡回了XD分享小弟淺見! 請教填充4回復 27# enlighten0626 的帖子
填充4.任取三個有 \( C^{20}_3 = 1140 \)
其中共線的有
(以長寬為 y,x軸方向)
斜率 0 ：\( C^4_3 \times 5 = 20 \)
斜率 1,-1：\( (C^3_3+C^4_3+C^4_3+C^3_3) \times 2 = 20 \)
斜率 2,-2：\( (1+1) \times 2= 4 \)
斜率不存在：\( C^5_3 \times 4 = 40 \)
無其它共線
故所求為 \( \frac{1140-84}{1140} = \frac{88}{95} \)
回復 25#Ellipse26 # 王重鈞的帖子
謝謝Ellipse和王重鈞老師的分享,我這塊磚引了好多玉 XD回復 28# tsusy 的帖子
了解，感謝解惑 請教填充第14題 [quote]原帖由 [i]enlighten0626[/i] 於 2021-8-9 18:44 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23272&ptid=3531][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教填充第14題 [/quote]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-9 21:28 編輯 [/i]] 第14題
參照Ellipse老師的做法，
後面用tan的關係式解，
提供參考。
由題設得下面向量內積
\(6\overset\rightharpoonup{AB}\cdot \overset\rightharpoonup{AC}=3\overset\rightharpoonup{BA}\cdot \overset\rightharpoonup{BC}=4\overset\rightharpoonup{CA}\cdot \overset\rightharpoonup{CB}\)
即\(6bc cosA=3acc osB=4ab cosC\)
所以\(tanA:tanB:tanC=6:3:4\)
設tanA=6t, tanB=3t, tanC=4t
利用\(tanA+ tanB+ tanC=tanA tanB tanC\)
可得\(tanA=\sqrt{\frac{13}{2}}\)
故得\(sinA=\sqrt{\frac{13}{15}}\)
[[i] 本帖最後由 Jimmy92888 於 2021-8-10 08:07 編輯 [/i]] 了解，感謝上面兩位老師的解惑 [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2021-7-31 22:57 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23179&ptid=3531][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
板上老師好
請問填充9,要怎麼做出p=11呢?
一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的 [/quote]
我也分享一個方法
說來慚愧，我對於手算開根號真的不熟練，所以只好想其他方法
從\(\sqrt{433},\sqrt{434}\)可以推得\(20<\frac{q}{p}<21\)，設\(q=20p+k,\,\,0<k<p\), \(k\)為整數
平方後得到 \(\displaystyle 433<\frac{400p^2+40pk+k^2}{p^2}<434 \) => \(\displaystyle 33<\frac{40k}{p}+\frac{k^2}{p^2}<34 \) ，其中\(0<\frac{k^2}{p^2}<1\)
所以可推得\(\displaystyle 32<\frac{40k}{p}<34 \)，即 \(\displaystyle 0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}<\frac{k}{p}<\frac{17}{20}=0.85 \)。
利用上面的不等式，去找出可能的\(\frac{k}{p}\)
從\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{k}{p}\)，先找分母比分子恰巧多1的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{6}{7}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差1的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)
從\(\displaystyle\frac{8}{10}<\frac{k}{p}\)，再找分母比分子恰巧多2的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{9}{11}<\frac{17}{20}\)，且\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{11}{13}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{13}{15}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差2的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)或\(\displaystyle\frac{11}{13}\)
先試試看吧，都不合再來找分子分母差3以上的。
接著用\(\displaystyle 33<\frac{40pk+k^2}{p^2}<34 \)找出真的可行的
若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)，則\(\displaystyle\frac{1200+25}{36}=\frac{1225}{36}>34\)不合
若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)，則\(\displaystyle\frac{3960+81}{121}=\frac{4041}{121}≈33.4\)，符合
故選擇\(p=11,\,k=9\)，即\(q=20*11+9=229\)，所求為\(\frac{229}{11}\)
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-17 10:26 編輯 [/i]]
回復 35# 5pn3gp6 的帖子
謝謝5pn3gp6 老師的分享 受教了 關於第九題其實一開始在逼近的時候就發現皆是20.8…
所以要有整數夾兩者，一定要從11開始試試看，這樣前面就不用試了（發現前面鋼琴老師已經說明了…
14題可以用垂心性質得到兩個關係式，相乘可以得到cos平方,再找sin就好(反正恆正)
[[i] 本帖最後由 shihqua 於 2021-8-18 11:19 編輯 [/i]]
回復 3# bugmens 的帖子
想問老師，為何要將n分開假設成奇數和偶數的樣子呢？第11題
請教老師們第十一題我直接列出向量長度的式子 ，做配方求出 b=2/9 a= -5/9
請問這樣做為什麼不對？