110全國高中聯招
如附件單選2:
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156 (B)258 (C)342 (D)514
[解答]
a_10=(2/3)*(-1)^10+(1/3)*2^10=1026/3=342
請參考:108清水高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278[/url]
填充9:
已知\([x]\)為高斯符號，表示不超過\(x\)的最大整數。求方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\ldots+\left[\frac{x}{10!}\right]=1001\)的整數解\(x=\)[u] [/u]。
[解答]
大陸數學坊間教材題
x=4*5!+4*4!+1*3!+1*2!+0=584
證明1:
設\(a,b,c\)分別表\(\Delta ABC\)之\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊長，\(\angle B=60^{\circ}\)，證明：\(\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)=3\)。
[解答]
b² =a² +c² -2ac*cos60度=a² +c²-ac ,a² +c²=b²+ac----------(1)
(a+b+c)[1/(a+b)+ 1/(b+c)]= 2+ c/(a+b) +a/(b+c)
=2+ (bc+c² +a²+ab)/[(a+b)(b+c)] (將(1)代入)
=2+ (bc+b²+ac+ab)/[(a+b)(b+c)] =2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]
=2+1=3
證明2:
\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(z\)和\(w\)滿足\(zw-2iz-iw-5=0\)，\(|\;z|\;=2\)。證明：\(|\;w-i|\;=2\)。
[解答]
zw-2iz-iw-5=0, z(w-2i)= iw+5
|z|*|w-2i| =|i |*|w-5i| ,2|w-2i| =|w-5i| ---------(*)
在平面座標上,令w=(x,y) , 2i=(0,2) ,5i=(0,5)
(*)符合 2[x² +(y-2)² ]^0.5= [x² +(y-5)² ]^0.5
兩端平方,整理出x²+(y-1)²=4
故得證在複數平面上滿足|w-i| =2
證明3:
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
[解答]
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+C(n,3)*x^3+C(n,4)*x^4+..........................------------(*)
令x=i代入(*), 得(1+i)^n=C(n,0)+C(n,1)*i - C(n,2) -C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(1)
令x= -i代入(*),得(1-i)^n=C(n,0)-C(n,1)*i - C(n,2) +C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(2)
[(1)+(2)]/ 2 得 C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...........................=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2-------------------(3)
[(1)-(2)]/ 2 得 C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)-...........................=[(1+i)^n-(1-i)^n]/(2i)-------------------(4)
將(3)&(4)代入欲證明左式={ [ (1+i)^n+(1-i)^n ]/2 }²+{ [(1+i)^n-(1-i) ^n ]/(2i) }²
=(1+i)^n*(1-i)^n=[ 1-i² ] ^n= [1-(-1)]^n=2^n ,故得證 證明3
[解答]
\((1+x)^n=C_0^n+C_1^n x^1+C_2^n x^2+\ldots+C_n^n x^n\)
令\(x=i\)代入
\((1+i)^n=(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots)+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)i\)
則\(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots\)為\((1+i)^n\)的實部
\(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots\)為\((1+i)^n\)的虛部
\(\displaystyle (1+i)^n=\left[\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^n\)
\(=\sqrt{2}^n \left[cos \frac{n\pi}{4}+i sin \frac{n\pi}{4}\right]\)
\((1+i)^n\)的實部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n cos \frac{n\pi}{4}\)，虛部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n sin\frac{n\pi}{4}\) 2.
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有__種不同的傳球方法？
(A)156 (B)258 (C)342 (D)514
(103桃園高中二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11276[/url])
112.4.27補充
甲、乙、丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有[u] [/u]種不同的傳球方法。
(112武陵高中，[url]https://math.pro/db/thread-3731-1-1.html[/url])
4.
設矩陣\(A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]\)，則\(A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2\)為下列何者？(\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr0&1} \right]\))
(A)\(\left[\matrix{24&16\cr-36&-24} \right]\) (B)\(\left[\matrix{-24&-16\cr36&24} \right]\) (C)\(O_2\) (D)\(4I_2\)
[提示]
\(A^n=\left[\matrix{1-6n&-4n\cr 9n&1+6n}\right]\)
特徵值重根時該怎麼辦？
\(A=\left[\matrix{-1&-9\cr 1&-7}\right]\)，\(A=PDP^{-1}\)，且\(P=\left[\matrix{3&1\cr 1&0}\right]\)，求\(A^n=\)[u] [/u](答案以\(n\)表示，\(n\in N\))？
(101松山工農，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid8184[/url])
5.
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(103華僑高中，thepiano解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1886&page=2#pid10436[/url])
12.
設\((\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},-2,0),(\sqrt{2},-2,0)\)為一正立方體的四個頂點，則下列的哪些點也為此正立方體的頂點？
(A)\((\sqrt{2},0,2)\) (B)\((0,2,\sqrt{2})\) (C)\((\sqrt{2},2,4)\) (D)\(-\sqrt{2},0,-2\)
(87年大學聯考自然組，[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/87(211~220)/215/1998-215-07(30-41).pdf[/url])
填充題
5.
如下圖四個相同正方形連接而成，則\(tan(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\)之值為[u] [/u]。
Find the value of \(10cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21)\)
(1984AIME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1984_AIME_Problems/Problem_13[/url])
證明題
3.
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
試問\(\displaystyle \sum_{k=0}^{49}(-1)^kC_{2k}^{99}\)為[u] [/u]，其中\(\displaystyle C_j^n=\frac{n!}{j!(n-j)!}\)。
(A)\(-2^{50}\) (B)\(-2^{49}\) (C)0 (D)\(2^{49}\) (E)\(2^{50}\)
(1989ASHME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1989_AHSME_Problems/Problem_29[/url]) 填1.m<-1無法滿足3^x>0
填2.考慮底數為0或1
填6.考慮z=r(cos(a)+isin(a)),則rsin(a)=1,rcos(a)+r=1.5
填7.做切線無法滿足另一條線交兩點，轉求AB兩者于C有共交點
填8.總數9!，n所產生的和為 n*(9!/n!)*(n-1)!=9! 故期望值為9*9!/9!=9 11. (D)全班最高分的同學，第一次調分所得的分數與第二次調分所得的
分數是相同的。
這選項敘述有問題？第二次調分應改成兩次調分？(呼應前面提到的經兩次調整後) 想請教單選第8題，謝謝。
8
如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\) (D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
可以土法煉鋼排上去
一般算路徑數的時候只用加法這邊多乘一個機率
前三行可列出
1/8 5/16 1/2
1/4 3/8 3/8
1/2 1/2 3/8
1 1/2 1/4
回復 6# koeagle 的帖子
單選第 8 題如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\) (D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
先求過 P 的機率
經過 P 的捷徑有 10 條，分成以下三類
(1) A → Q → P，有 6 條，每條機率都是 1 / 2^5
(2) A → R → P (但不過 D)，有 3 條，每條機率都是 1 / 2^4
(3) A → D → R → P，有 1 條，機率是 1 / 2^3
所求 = 1 - (1 / 2^5 * 6 + 1 / 2^4 * 3 + 1 / 2^3) = 1/2
回復 7# cut6997 的帖子
謝謝 cut6997 老師。謝謝 thepiano 老師。
回復 4# cut6997 的帖子
可以請您稍微再說明一下填充8的解題方法嗎？我想了很久還是不太了解，謝謝。
回復 10# koeagle 的帖子
將\(n\)與比\(n\)小的數皆視為相同，讓\(n\)強制排于這些數最左，之後再對小於\(n\)的\(n-1\)的數做排列，可得\(n\)可採計的數量回復 11# cut6997 的帖子
不好意思我想請教的是填充第8題，想請問老師期望值的算法，謝謝。
回復 12# koeagle 的帖子
填充第 8 題數字1~9隨機排成一列，接著將前面沒有更小數字的那些數字圈選出來，計算被圈選的數字總和。例如:123456789只圈選1，得到的和為1；548721936圈選5、4、2、1，得到的和為12；987654321得到的和為45等等。則這樣的和的期望值為[u] [/u]。
[解答]
題意是數字由左而右要愈取愈小
數字 1：不管怎麼排列，數字 1 一定會被取到，共有 9! 個 1，總和為 9!
數字 2：2 一定要排在 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 2 個 2，總和亦為 9!
數字 3：3 一定要排在 2 和 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 3 個 3，總和亦為 9!
:
:
數字 9：9 一定要排在最前面，才會被取到，共有 9! / 9 個 9，總和亦為 9!
所求 = 9! * 9 / 9! = 9
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝 cut6997 老師、 thepiano 老師的詳細說明！回復 1# Ellipse 的帖子
不好意思，請問填充9的思維該怎麼下手呢? 那個算式怎麼得到的?回復 15# s7908155 的帖子
填充第 9 題先估一下
若 x ＞ 700
[x] + [x/2] ＞ 1050，不合
原方程精簡成 [x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120] = 1001
利用 x ≧ [x]
x + x/2 + x/6 + x/24 + x/120 ≧ 1001
206x ≧ 1001 * 120
x ≧ 583.1...
當 x = 584
[x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120]
= 584 + 292 + 97 + 24 + 4
= 1001 想請問單選8分母用不盡相異物排列解題的盲點><?