求方程式\(\root 3 \of{(10+x)^2}+\root 3 \of{(3+x)^2}=\root 3 \of{(10+x)(-3-x)}+7\)的所有解\(x\)。
[attach]6011[/attach]
回復 17# ChuCH 的帖子
tan兩線夾角\(\displaystyle =\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\)多選1(E)
多選1(E)大概能知道是考「黎曼重排定理」
可是想不出實際的例子
想請教各位老師們，協助提供實際的例子
回復 23# 呆呆右 的帖子
1.下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
(E) 反例
\( a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} \)
\( a_{n} \) 遞減，且 \( \lim\limits _{n\to\infty}a_{n}=0 \)，因此 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \) 收斂，令 \( A=\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \)
\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right)=\left(\sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\right)+\left(\sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}\right) \)
其中 \( \sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\to A \), \( \sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}=\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}=\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{2n+1}}{2}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-\sqrt{2+\frac{1}{n}}\right) \)。
因此 \( n \to \infty \) 時，\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right) \) 的極限不存在 [quote]原帖由 [i]icegoooood[/i] 於 2021-5-10 16:30 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22937&ptid=3518][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思，小弟尚菜
想求填充2.6與多選2的解法 (複數的部分好菜..)
點了Bugmens老師的連結進去，但沒看到解法 [/quote]
多選2
2.
在複數平面上，\(z,z^2,z^3\)構成一個直角三角形的三個頂點，且\(|\;z|\;=2\)。請問下列哪些選項，可以是主輻角\(Arg(z)\)的值？
(A)\(\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\)
[解答]
假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=[color=Red]2π/3[/color] 或[color=Red]4π/3[/color]
(2)若∠B為直角,則(z^3-z²) /(z-z²)= -z= -2cosθ-i*2sinθ
且 -2cosθ=0 ,θ=[color=Red]π/2[/color] 或[color=Red]3π/2 [/color]
(3)若∠C為直角,則(z-z^3)/(z²-z^3)= (1+z)/z =(1/z) +1 =[(1/2)cos(-θ)+1] +(1/2)sin(-θ)*i
且(1/2)cos(-θ)+1 =(1/2)cosθ+1=0 ,cosθ= -2 不合
註:當然可以把五個選項逐一代入檢驗
回復 24# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師的幫忙！謝謝各位老師~
謝謝 ChuCH老師 以及Ellipse老師的解答!!!!感激不盡~ 覺得又學到了很多技巧XD 請教 (17/27)(E(X)+1) 怎麼解釋? 謝謝。
[quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2021-5-9 21:17 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22923&ptid=3518][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算1 考場當下不知道怎麼回事 以為是要求出留到最後一人為勝利者時的猜拳次數期望值
嫌麻煩就沒算了 回頭來看發現超級送分
不分勝負機率為\(\displaystyle \frac{17}{27}\)
\(\displaystyle E(X)=\frac{10}{27}+\fr ... [/quote]
回復 28# happysad 的帖子
不分勝負的話 平均還要在E(X)次 但因為前面有猜過一次了 所以E(X)+1 分出勝負的機率是10/27也就是平均而言，27場會有10場分出勝負
期望值2.7場能分出勝負(也就是倒數)
不過考試我不才敢這樣寫XD 請問填充5??
回復 31# Uukuokuo 的帖子
填充5.已知\(A\)為\(\{\;1,2,\ldots,110 \}\;\)的子集合，且\(A\)中任兩個元素之和都不為6的倍數，求集合\(A\)的元素個數之最大值。
[解答]
6k有18個，6k+1，6k+2的數字各有19個
6k+3，6k+4，6k+5各有18個
取6k+1，6k+2全部的數字，再多取6k，6k+3的數字各一個，共38+2=40個 感謝大大的回覆~~~
[quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2021-5-11 21:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22955&ptid=3518][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不分勝負的話 平均還要在E(X)次 但因為前面有猜過一次了 所以E(X)+1 [/quote]
手寫詳解
除了第一題感覺很clean外, 其它解法整理於此回復 1# tuhunger 的帖子
這是110北市聯招太久沒po文，po錯地方，找不到刪除方式。板主可砍了
110.5.17版主補充
將文章合併到110台北市高中聯招
請教選擇1(C),(D)的反例
板上老師好想請問(C),(D)的反例 沒查到 想請問一下
回復 36# anyway13 的帖子
下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
第一題反例
回復 37# PDEMAN 的帖子
謝謝PDEMAN老師提供反例回復 33# happysad 的帖子
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回復 25# Ellipse 的帖子
複數的內容我也很弱，現在都不知道該如何補救想請問老師，為何兩個複數相減並相除後，實部會為0呢? 謝謝