110新北市高中聯招
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=6001&k=6a2148e095e140f52413e587871144ca&t=1620515090&noupdate=yes[/img] 1.在滿足\(11x^2-16xy+11y^2=1\)的實數數對\((x,y)\)中，\(x^2+y^2\)的最大可能值為何？
設x,y為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
(100全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=1#pid3807[/url])
4.
在三角形\(ABC\)中，已知\(3cosA+5sinB=6\)，\(3sinA+5cosB=-1\)，則\(sinC=\)？
在三角形\(ABC\)中，\(5sinA+6cosB=7\)，\(6sinB+5cosA=4\)，則\(sinC=\)？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url])
7.
不等式\(|\;x+y|\;+|\;x+2y|\;+|\;2x+y|\;\le 8\)在\(xy-\)平面上所表示區域面積為？
滿足\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y-1 |\; = 1 \)的所有點\( (x,y) \)在坐標平面上所形成的區域面積為[u] [/u]。
(102松山工農，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8768[/url])
坐標平面上，不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為[u] [/u]。
(104鳳山高中，[url]https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html[/url])
9.
已知一正三角形內有一點\(P\)，\(P\)點到三頂點的距離分別為3、4、5，則此正三角形面積為何？
若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)
10.
用1、2、3、4這四數字排成長度為5的字串，其中1出現偶數次的字串有多少個？
(例如：22311就是其中一個，22334也是)
[提示]
\(f(n)=\frac{1}{2}(4^n+2^n)\)，\(f(5)=\frac{1}{2}(4^5+2^5)=528\)
求\(0,1,2,3\)所組成的\(n-\)序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題，[url]https://math.pro/db/thread-626-1-1.html[/url]) 第 6 題
104 新竹女中考過類似題
設任取之三數分別是 a、b、c，其中 a < b < c
把此三數由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 6 個數平均分配到這 4 個空隙，每個空隙是 3/2 個數
所求 = 3/2 + 1 = 5/2
第 10 題
要小心，沒有 1 的也要算進去
沒有 1：有 3^5 = 243 個
2 個 1：有 C(5，2) * 3^3 = 270 個
4 個 1：有 C(5，4) * 3 = 15 個
計 528 個 第1題
看成中心在(0,0)的斜橢
第2題
即解一點在平面上的投影點
第3題
可知(x-3)^2為因式，且f(0)=-2,f’(0)=1
設f(x)=(x-3)^2(ax+b)
f’(x)=2(x-3)(ax+b)+(x-3)^2*a
f(0)=-2,f’(0)=1代入上面兩式
即可解得f(x)
第4題
題目的兩式個別平方再相加
依序利用平方關係、和角公式、補角關係sinC=sin(pi-(A+B))
第7題
如附圖，小心討論
請教8題
[[i] 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 14:42 編輯 [/i]] 填充二是(-1,4,2)????
回復 5# Uukuokuo 的帖子
(-1,4,-2)原始的解答打錯了 請問第十題
2個1我想成兩種狀況
1. 2同3異 ： 11234。 5！/2！=60
2. 2同2同1異： 11223，11224，11332，11334，11442，11443
（ 5！/2！2！）*6=180
這樣我算到240種 但是一直找不到錯在哪
回復 7# 彤仔 的帖子
沒有1的(0個1)，沒有算到另外少了
11+3同、1111+1異 等等
[[i] 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 17:36 編輯 [/i]]
回復 8# 呆呆右 的帖子
謝謝解答!想請教填充1和8 謝謝
回復 1# bugmens 的帖子
這張也有很多考古題(出題老師命題費真好賺)那個這幾年常關心新北高中聯招考題的教授,應該不會再出來發表意見了
因為這次聯招會可能不敢再找他們命題(去年有一半以上比例都出連續某幾年北X區能力競賽題目)
填充1:
至少4種以上做法，其中一種方法如下
令x²+y²=A ,則xy=(11A-1)/16
(x-y)²=x²+y²-2xy=A-2(11A-1)/16= (-3A+1)/8 ≧0
-3A+1≧0 , A≦ 1/3
其他想法請多思考喔
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-8 21:20 編輯 [/i]]
回復 9# 彤仔 的帖子
[b]填充1.[/b]令 s=x+y , t=xy ,則 s^2-4t=(x-y)^2>=0 => s^2>=4t
原式=> 11(s^2-2t)-16t=1 => 38t+1=11(s^2)>=11(4t) => t<=1/6
x^2+y^2=(16t+1)/11<=1/3...此為最大值,此時 x=y=+-1/ ㄏ6
[b]填充8.[/b]
由四複數和=0 以及四複數平方和為正實數可知此四複數輻角為 -a,a,PI-a,PI+a (a為銳角) ,
四複數平方和=4cos(2a)=1 =>cos(2a)=1/4
所求=4*sina*cosa=2sin(2a)=(ㄏ15)/2
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:30 編輯 [/i]]
回復 9# 彤仔 的帖子
第 1 題再提供另一解法
11x^2 - 16xy + 11y^2 = 1 旋轉 45 度，可得 x^2 / (1/3) + y^2 / (1/19) = 1
所求 = 1/3
第 8 題
只有我覺得條件不夠嗎？
回復 12# thepiano 的帖子
第8題條件其實夠了因為S1=0 假設其中一個點是 a+bi 則4的點依序為 -a+bi -a-bi a-bi
又S2=1 => 4(a^2-b^2)=1 => a^2-b^2=1/4 另外單位圓上 a^2+b^2=1
所以 a^2=5/8 b^2=3/8
a= 根號10 / 4 b=根號6 / 4 四邊形面積= 4ab = 根號15 / 2
回復 13# matsunaga2034 的帖子
請問是先當成擺正的矩形，以特例求解嗎？一般而言，四個點的分佈，感覺沒有那麼完美 第一題，拉格朗日乘子法
其實就是會解出長軸、短軸
一者為x+y=0,另一者為x-y=0
(可知會是偏掉45度的橢圓)
[[i] 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 22:33 編輯 [/i]]
回復 14# 呆呆右 的帖子
當四複數和為0時可知 (z3+z4)=-(z1+z2),從向量的觀點去看便可知此四邊形一定是斜的或平的矩形,但平方和為正實數時,那麼此四邊形就只能是平的矩形了.
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:52 編輯 [/i]]
回復 16# laylay 的帖子
知道了，我會試著思考原因的！回復 13# matsunaga2034 的帖子
您的假設真漂亮，小弟想不到啊，受教了 [quote]原帖由 [i]呆呆右[/i] 於 2021-5-8 22:23 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22898&ptid=3517][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問是先當成擺正的矩形，以特例求解嗎？
一般而言，四個點的分佈，感覺沒有那麼完美 [/quote]
如果還是不行，也可以參考這樣的做法
想法跟matsunaga2034老師是類似的
阿對了，圖形隨意畫的，當作示意圖參考就好
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-5-8 22:56 編輯 [/i]]
回復 13# matsunaga2034 的帖子
填充 8. 條件應該是夠的，但這件事沒有這麼顯然?(1) 此四邊形為矩形：
把複數 \( x + yi (x,y \in \mathbb R) \) 對應成向量 \( (x,y) \)
則 \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 \) 對應向量加法的圖形是一個邊長為 1 的菱形。
再把向量的起點，移至原點，可得四個向量的終點 (原 \( z_i \) 的位置) 恰為矩形(或正方形)的四個頂點
(2) \( S_2 \) 並非旋轉不變量，因而不能透過旋轉而不失一般性假設矩形的邊形和坐標軸平行。
利用虛部為 \( S_2 \) 的虛部為 0，可論證出正方形或邊長與坐標軸平行的矩形，
前者正方形與 \( S_1 = 0 \) 矛盾，後者與 13# 的假設相同