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Superconan 發表於 2021-5-7 20:53

110北科附工

請教第 4 題
(1) 已知\(a,b,c>0\)．試證明\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\ge \frac{a+b+c}{3}\)。
(2) 已知\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3>0\)，試證明\((a_1^3+a_2^3)(b_1^3+b_2^3)(c_1^3+c_2^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2)^3\)。
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110.05.08
感謝 chen3553 老師提供記憶版題目，我將老師分享的試題再修正，提供給老師們參考。

備註：
第 8 題的第 (1) 小題學校題目有打錯， \(n → 0^+\) 應該改為 \(x → 0^+\) ，此題應該要送分。
但是昨天晚上考北科附工，今天早上考新北聯招，大家應該都累壞了。
不知道有沒有老師今天早上來得及去提疑義？
（昨天晚上我本來想提，但是找不到疑義申請表，想說今天再打電話問，結果忘了）
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110.5.9版主補充
Superconan提供更完整題目，將chen3553版本移回原文章

111.5.12版主補充
新增官方版題目

satsuki931000 發表於 2021-5-7 21:11

(1)柯西不等式
\((\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a})\)\((3a+3b+3c)\geq (a+b+c)^2\)


\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{3}\)

satsuki931000 發表於 2021-5-7 21:18

(2)原式即証\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)\geq (1+r_1r_2r_3)^3\)
其中\(\displaystyle r_1=\frac{a_2}{a_1},r_2=\frac{b_2}{b_1},r_3=\frac{c_2}{c_1}\)

\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)=1+(r_1^3+r_2^3+r_3^3)+[(r_1r_2)^3+(r_2r_3)^3+(r_3r_1)^3]+(r_1r_2r_3)^3\geq 1+3r_1r_2r_3+3(r_1r_2r_3)^2+(r_1r_2r_3)^3=(1+r_1r_2r_3)^3\)得証

[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-7 21:20 編輯 [/i]]

Superconan 發表於 2021-5-7 22:28

回復 2# satsuki931000 的帖子

請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？
[attach]5989[/attach]

Ellipse 發表於 2021-5-7 22:34

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-7 22:28 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22872&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？
5989 [/quote]
不是這樣寫
左邊第二個括號應該是[  (√2a+b)² +√2b+c)²+√2c+a)²]

tsusy 發表於 2021-5-7 22:34

回復 4# Superconan 的帖子

\( 3a +3b +3c = (2a+b) + (2b+c) + (2c+a) \)
是用右邊的三個去做柯西

Ellipse 發表於 2021-5-7 22:39

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-7 20:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22869&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教這兩題

5988 [/quote]
第二題考廣義科西不等式證明
也可以用算幾不等式來證

Superconan 發表於 2021-5-7 22:48

感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？

Ellipse 發表於 2021-5-8 09:35

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-7 22:48 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22876&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？ [/quote]
要喔~這樣才不會被挑毛病而扣分

chen3553 發表於 2021-5-8 18:12

考題記憶版

努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明

bugmens 發表於 2021-5-8 18:49

2.
已知巴斯卡定理\(C_k^n+C_{k-1}^n=C_k^{n+1}\)
(1)證明\(C_2^2+C_2^3+C_2^4+\ldots+C_2^n=C_3^{n+1}\)。
(2)利用(1)推導出\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
[解答]

(2)
\(\displaystyle \frac{2\cdot 1}{2}+\frac{3\cdot 2}{2}+\frac{4\cdot 3}{2}+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}\)
\(\displaystyle (2^2-2)+(3^2-3)+(4^2-4)+\ldots+(n^2-n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(1+2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

6.
在\(\Delta ABC\)中，其內角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對應的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4cosC\)，求\(tanC(cotA+cotB)\)的值。

\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2+\overline{AC}^2=6\overline{AB}^2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)[u]　　　[/u]。
(108高中數學能力競賽北二區筆試二試題)

110.6.16補充
感謝satsuki931000告知
\(\displaystyle \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=tanC=\)修正為\(\displaystyle
\left( \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)

Ellipse 發表於 2021-5-8 20:48

[quote]原帖由 [i]chen3553[/i] 於 2021-5-8 18:12 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22887&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明
[/quote]
由二項式定理得
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+...............+C(n,n)*x^n-----------------------(1)
再將(1)式左右對x積分,範圍從-1到0即可得證

Superconan 發表於 2021-5-8 21:18

請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題

Ellipse 發表於 2021-5-8 21:23

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-8 21:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22892&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題 [/quote]
第 1 題沒第(3)小題吧?
(看到了,原來在第二個檔案內)

thepiano 發表於 2021-5-8 21:37

回復 14# Superconan 的帖子

第 1 題
第 (2) 小題
f(x) 遞增
f(3) = -1 ＜ 0
f(a + 2) ＞ 0
由勘根定理，f(x) 與 x 軸有一交點

第 (3) 小題
從 a = 2，b = 10 去討論
可得 (2，10，100)、(3，9，16)、(4，8，8)、(6，6，4)、(9，3，2)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-8 21:49 編輯 [/i]]

satsuki931000 發表於 2021-5-8 22:34

以下幾題想對個答案
8(4) \(\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-x}sinx - e^{-x}cosx)+C\)

8(2) \(\displaystyle [sin(x^2+1)]^x [ln \ sin(x^2+1)+2x^2\ cot(x^2+1)]+C\)

8(3) \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^3}(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3})+C\)

Ellipse 發表於 2021-5-8 22:55

[quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2021-5-8 22:34 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22900&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
以下幾題想對個答案
[/quote]

答案對,但題號要換一下

yi4012 發表於 2021-5-10 10:39

回復 17# satsuki931000 的帖子

第8-3題不是要積分x^5/跟號(x^3+1)
為什麼答案會變成減？
積分後都要加上常數項
第8-1題下標應該是x不是n

satsuki931000 發表於 2021-5-10 13:27

回復 19# yi4012 的帖子

筆誤打錯 謝謝您的提醒

enlighten 發表於 2021-5-10 15:40

回復 17# satsuki931000 的帖子

請教8(2)(3)如何做?

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