第八題
第八題[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-6-19 08:39 編輯 [/i]]
回復 22# PDEMAN 的帖子
cotx，x趨近0+時趨近無限而且分母的微分也不見了
分子趨近0，分母趨近無限
回復 23# yi4012 的帖子
謝謝您的提醒，下次多檢查一下，上面已經更正了！[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-10 18:15 編輯 [/i]]
請教第6題
板上老師好第六題做到 利用算幾不等式得到角C小於等於60度
和餘弦定理 cosC=(c^2)/(2ab) 然侯就卡住了,,,
希望有老師可以求教一下
回復 24# anyway13 的帖子
第六題，餘弦定理的部分相同\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{{a^2} + {b^2} - {c^2}}{ab} \)
(謝謝橢圓兄幫抓筆誤，補上分母 ab)
\( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \cos C = \frac{{{c^2}}}{{2ab}}\)
剩下來的用正弦、餘弦表示正切、餘切，
正弦的比值可以用正弦定理換成邊長的比值，
餘弦的部分，用餘弦定理或投影(好像叫投影定理)，可得以下
\( \tan C\left( {\cot A + \cot B} \right) = \frac{{\sin C}}{{\cos C}} \cdot \left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) \)
\( = \frac{c}{{\cos C}}\left( {\frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b}} \right) \)
\( = \frac{{c \cdot (b\cos A + a\cos B)}}{{ab\cos C}} \)
\( = \frac{{c \cdot c}}{{ab\cos C}} = 2 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2021-6-14 16:18 編輯 [/i]]
回復 25# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師指點,明白了 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2021-6-13 21:47 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23040&ptid=3516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot ({a^2} + {b^2} - {c^2})\) \( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \co ... [/quote]
寸絲前面有一個筆誤: a/b +b/a =2(a²+b² -c² )/ [color=Red]ab [/color]
印象中, 這題是由民國95年某校教甄題去改一下外觀的
另解:
這題本來想說故意"不用餘弦定理",但真的還不太行 :需用到a² +b² =2c² 這條件-----------(1)
由正弦定理可知 a/b+b/a=4cosC => sinA/sinB +sinB/sinA = (sin² A +sin² B)/ (sinAsinB) =4cosC-------------(2)
所求=tanC(cotA+cotB)=(sinC/cosC)*(sinAcosB+cosAsinB)/(sinAsinB)=(sinC/cosC) *sin(A+B)/(sinAsinB)
=(sinC/cosC) *sinC/(sinAsinB) (將(2)代入)
=4sin² C/(sin² A+sin² B)= 4c² /(a² +b² ) (by 正弦定理)
=4c²/2c²=2 (by (1))
當然用寸絲的方式會比較快,但考生也要多去思考是否可"一題多解"
這樣才能增強數學解題能力 . 在此先拋磚引玉一下~
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