填充2.
設函數\(y=f(x)=\root 3 \of{x}\)，若正實數\(t\)滿足\(f(t+16)-f(t-16)=2\)，則\(t=\)[u] [/u]。[解答]
t>0,t+16>16,
故存在正數a使 t+16=(ㄏa+1)^3=(a+3)ㄏa +(3a+1) ,
再由原式易知 t-16=(ㄏa -1)^3=(a+3)ㄏa - (3a+1)
解得 a=5 , t=8ㄏ5 [quote]原帖由 [i]farmer[/i] 於 2021-5-3 23:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22816&ptid=3515][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第12題題目出錯，這樣的PQ不存在
這份考題能考50分以上實在厲害（100分鐘而已對嗎？），
題目都有難度，根本沒辦法看完整份題目而能精準挑題，
選錯題就會耗盡時間了。 ... [/quote]
這張44分就進複試了(取前八名)
裡面也有一些考古題,慎選題目再加上臨場反應
就有機會,中女中好像沒有設總成績門檻
進複試的考生請加油!!!(應該不會有"從缺"情況吧?) 填充17
設\(x,y\)皆為不超過50的正整數，若\(\displaystyle 6x+2y-3x\left[\frac{x^2+y^2}{x^2}\right]=0\)，其中[]表示高斯符號，則滿足上述條件的數對\((x,y)\)共有[u] [/u]組。
[解答]
有誤請指正，抱歉，其中(x,y)=(6,9)而非(6,8)
回復 18# laylay 的帖子
的確，11題答案應該要改填充5.
坐標平面上，一直線通過點\((1,2)\)且與雙曲線\(xy=1\)交於相異二點\(P,Q\)，則\(\overline{PQ}\)的最小值為[u] [/u]。[解答]
設該直線L斜率m,則 L: y-2=m(x-1) => y=mx+(2-m) 代入 xy=1
得 mx^2+(2-m)x-1=0 , 設兩根為p,q
則 PQ=| p-q |*ㄏ(m^2+1)=ㄏ((p+q)^2-4pq)*ㄏ(m^2+1)=ㄏ(((2-m)/m)^2+4/m)*ㄏ(m^2+1)
=ㄏ(m^2+4/m^2+5)>=ㄏ(2*ㄏ(m^2*4/m^2)+5)=3
故 最小值=3 , 此時 直線L斜率m=+-ㄏ2
填充7.
題目中 "若此四面體的高" 是不是應該改成 "若此八面體的高" 嗎?而且也應該說頂部跟底部平行吧?
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:05 編輯 [/i]]
回復 26# laylay 的帖子
再找下去會不會愈錯愈多?中女中又要重演幾年前的戲嗎?
雖然當年演得比較好
填充8.
設切線 y=mx 代入 y=f(x)=F'(x)=x^2/4-4x+p可得 x^2/4-(m+4)x+p=0 , 因為相切, 所以 D=(m+4)^2-p=m^2+8m+(16-p)=0
兩切線垂直=> m的兩根乘積=16-p=-1 => p=17
原式中令 x=1 得 1/12-2+p+q=0 => q=-181/12
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:40 編輯 [/i]]
填充9.
由孟氏定理 AE/EB*BC/CD*DO/OA=1/2*2/1*DO/OA=1 => AO=OD原式=> AB*AC=6*(AB+AC)/2/2*(-1/3*AB+AC) =>AB*AB=3AC*AC (*表內積)=>所求=ㄏ3
[b]填充13.[/b]
由過A，平行（過B中線: 3x+2y=7）的直線為3x+2y=1
知過C，平行（過B中線）的直線為3x+2y=13
再與過C中線：x-2y=13解聯立，可得C(13/2,-13/4)
[b]填充7.[/b]
a^2-(27/2)^2=(ㄏ141)^2+((ㄏ3)/2*15*2/3-(ㄏ3)/2*27*1/3)^2 => a=18
[b]填充12.[/b]
設 a=AP,c=AC,由面積關係易知 ac=2*3/3=2, 令 a+c=x,
cosA=-1/4,PQ=ㄏ(a^2+c^2-2ac*(-1/4))=ㄏ(x^2-3)
由周長關係知 4+(2-a)+(3-c)+ㄏ(x^2-3)=2(ㄏ(x^2-3)+a+c)
ㄏ(x^2-3)=9-3x >=0 => x<=3 , x=(27-ㄏ57)/8=2.4312.. 但 x=a+c>=2ㄏ(ac)=2.828.....
矛盾,故本題無解
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 15:44 編輯 [/i]]
填充14.
AI平分角A ,顯然MN垂直AI時AMN面積最小(你若把此MN再另畫斜一個角度馬上發現下方多 出來的面積會比上方少掉的多
故所求=AI*(AI*tan(A/2))=[ (9AB+6AC)/(6+9+12)內積(9AB+6AC)/(6+9+12) ] * (sinA/(1+cosA))
=[ (3AB+2AC)/9內積(3AB+2AC)/9 ] * ((ㄏ15)/4)/(1-1/4)
=(9*36+4*81+12*(6^2+9^2-12^2)/2)/81*(ㄏ15)/3
=(4+4-2)*(ㄏ15)/3=2ㄏ15
[b]填充15.[/b]
取BD為單位長,設a>0,D(0,0) , B(-1,0) , C(1,0) , I(0,a)=>A(0 , 2a/(1-a^2) ) (tan 兩倍角公式)
H(0,2a) , BH垂直AC=> BH內積AC=(1,2a)內積(1,-2a/(1-a^2))=1-4a^2/(1-a^2)=0 =>a^2=1/5
故所求=[2a/(1-a^2) ]/(2a)=1/(1-a^2)=5/4
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 21:12 編輯 [/i]] 填充19 另解...有點繁雜 填充8.(速算法)
y=f(x)=(1/4)x² -4x+p=(1/4)(x-8)² +p-16---------(*)
依題意知(0,0)必在(*)的準線(y=0)上
則p-16=c=1 (令c為(*)的焦距)
p=17 再帶回積分式子算出q= -181/12
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-6 08:10 編輯 [/i]]
計算三
另解填充7
[quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2021-5-5 10:10 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22841&ptid=3515][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]題目中 "若此四面體的高" 是不是應該改成 "若此八面體的高" 嗎?
而且也應該說頂部跟底部平行吧? [/quote]
的確題目應該要說清楚比較好，不然考生已經時間不够了現場還要判斷題意、猜測情境……。
不過有點好奇在題目設定的條件下（上下都是正三角形、側面都是同樣腰長的等腰三角形），是否能保證上下底平行？
請教填充10
想請教老師填充10只能看出x1+x2=-2且x3*x4=1
帶回去原式為-2x3+1/x3的最大值 但微分找不到最大值
請問這題該怎麼做，謝謝老師們。
回復 35# HC3064 的帖子
填充10四根為 \(x_1=-1-a,x_2=-1+a,x_3=10^{-a},x_4=10^{a}\),其中 \(0<a\leq 1\)
設 \(t=10^{a}\),則所求為 \(\displaystyle \frac{t^2-2}{t}\),其中 \(1<t\leq 10\)
一次微分檢驗法得 \(1<t\leq\sqrt{2}\) 遞減, \(\sqrt{2}\leq t\leq 10\) 遞增
所以所求在 \(t=10\) 有最大值 \(\displaystyle \frac{100-2}{10}=\frac{49}{5}\)
回復 35# HC3064 的帖子
四個不相同的實數解，\( a \) 有範圍，\( x_1 = -1-a, x_2 = -1 +a, x_3 = 10^{-a}, x_4 = 10^a \) 也都有範圍
沒有 critical point 的話，剩下來可能的極值，就在邊界
或者直接由微分可知遞增、遞減，也能判定最大值 謝謝czk 老師、寸絲老師，理解了。
填充4.
由題意知五個奇數必定恰好在某一行跟某一列的五個位置上.所以所求=3^2/C(9,5)=1/14
回復 30# laylay 的帖子
補填充14,證明 AI=高時有最小面積[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-10-2 00:09 編輯 [/i]]